Question

高等数学二重积分

求区域A的体积V，其中A由z=xy,x²+y²=a²,z=0围成。过程，最好详细点。

Answer 1

体积V即以闭域D:x²+y²=a²为底，z=xy马鞍面为曲顶的立体的体积，注意z=xy可能<0，故被积函数取绝对值！
∴V=∫∫(D) |z| dxdy 其中D={(x,y)|x²+y²=a²}
转换到极坐标系
V=∫∫(D) |z| dxdy
=∫∫(D)| xy| dxdy
=∫∫(D) |(rcosθ)(rsinθ)|r drdθ（利用对称性）
=4∫(0→π/2)(sinθcosθ)dθ∫(0→a)r³dr
=4[(sin²θ/2)|(0→π/2)]*[(r^4/4)|(0→a)]
=4*(1/2)*(a^4/4)
=a^4/2

Answer 2

体积V即以闭域D:x²+y²=a²为底，z=f(x,y)为曲顶的立体的体积
∴V=∫∫(D) z dxdy 其中D={(x,y)|x²+y²=a²}
转换到极坐标系
V=∫∫(D) z dxdy
=∫∫(D) xy dxdy
=∫∫(D) (rcosθ)(rsinθ)r drdθ
=4∫(0→π/2)(sinθcosθ)dθ∫(0→a)r³dr
=4[(sin²θ/2)|(0→π/2)]*[(r^4/4)|(0→a)]
=4*(1/2)*(a^4/4)
=a^4/2

Answer 3

axd.99