Question

【急】证明：1/2*3/4*5/6*...*(2n-1)/(2n) < 1/((2n+1）^0.5)，并求不等式左边的极限

Answer 1

设A=1/2*3/4*5/6*……*(2n-1)/2n，则：

A^2=[1/2*3/4*5/6*……*(2n-1)/2n]×[1/2*3/4*5/6*……*(2n-1)/2n]

∵一个最简正分数小于该分数的分子与分母同时加1，如1/3<2/4，2/3<3/4。

∴(A^2)<[1/2*3/4*5/6*……*(2n-1)/2n]×[2/3*4/5*6/7*……*(2n-1)/2n*(2n)/(2n+1)]

=1/(2n+1)

∴ A< 1/((2n+1）^0.5)

即原不等式得证。

∵ (2n-1)/2n=1-1/2n

n--->∞时，lim[(2n-1)/2n]=1

∴n--->∞时，limA=1

求极限基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

Answer 2

设A=1/2*3/4*5/6*……*(2n-1)/2n,则
A^2=[1/2*3/4*5/6*……*(2n-1)/2n]×[1/2*3/4*5/6*……*(2n-1)/2n],
∵一个最简正分数小于该分数的分子与分母同时加1，如1/3<2/4，2/3<3/4。
∴(A^2)<[1/2*3/4*5/6*……*(2n-1)/2n]×[2/3*4/5*6/7*……*(2n-1)/2n*(2n)/(2n+1)]
=1/(2n+1)
∴ A< 1/((2n+1）^0.5)
即原不等式得证。
∵ (2n-1)/2n=1-1/2n,
n--->∞时,lim[(2n-1)/2n]=1,
∴n--->∞时,limA=1