Question

已知:如图,在△ABC中,BC边的垂直平分线DE与∠BAC的角平分线AE交于点E，过点E作EP⊥AB于P，

EQ⊥AC的延长线于Q，求证BP=CQ

Answer 1

连接EB,EC
因为AE平分∠BAC，EP⊥AB，EQ⊥AC
所以EP=EQ
因为DE垂直平分BC
所以EB=EC
所以RT△EPB≌RT△EQC
所以BP=CQ

Answer 2

因为：DE是角BAC的平分线
所以：角BAD=角DAC
因为：DP垂直AB，DQ垂直AC
所以：角BPD=角CQD=90度
因为：AD是三角形ADP和三角形ADQ的公共边
所以：三角形ADP和三角形ADQ全等
所以: DP=DQ
因为：ED垂直平分BC
所以：BC=CD
在Rt三角形BPD和三角形DQC中
因为：DP=DQ BD=DC
所以：三角形BPD和三角形DQC全等
所以: BP=CQ

Answer 3

证明：因为AE平分角BAC
所以角PAE=角QAE
又因为角APE=角AQE
所以角PEA=角QEA
又因为AE是公共边
所以三角形APE全等与三角形AQE(ASA)
所以PE等于QE;
连接BE、CE
因为DE垂直平分BC
所以BD等于CD；角BDE等于CDE
又因为DE为公共边
所以三角形BDE全等三角形CDE(SAS)
所以BE等于CE
在直角三角形PBE和QCE中
因为PE=QE
BE=CE
角BPE=角CQE=90°
所以直角三角形PBE全等与直角三角形QCE（勾股定理）
所以BP=CQ

Answer 4

因为：DE是角BAC的平分线
所以：角BAD=角DAC
因为：DP垂直AB，DQ垂直AC
所以：角BPD=角CQD=90度
因为：AD是三角形ADP和三角形ADQ的公共边
所以：三角形ADP和三角形ADQ全等
所以: DP=DQ
因为：ED垂直平分BC
所以：BC=CD
在Rt三角形BPD和三角形DQC中
因为：DP=DQ BD=DC
所以：三角形BPD和三角形DQC全等
所以: BP=CQ

Answer 5

连接BE CE 证明△BPE≌△CEQ