Question

已知向量A=(1,2),向量b=（2，1）

若（ma+nb)⊥（a-b),m，n属于R求m^2+n^2+2m的最小值

Answer 1

解：向量ma=(m,2m), 向量nb=(2n,n).
ma+mb=(m+2n,2m+n).
(a-b)=(-1.1).
∵(ma+mb)⊥(a-b),∴(m+2n)*(-1)+(2m+n)*1=0.
-m-2n+2m+n=0
m-n=0.
m=n.
m^2+n^2+2m=2m^2+2m.
=2(m+1/2)^2-1/2.
∵m,n∈R, (m+1/2)^2≥0.
∴(m^2+n^2+2m)min=-1/2. (m=-1/2时，原式有最小值（-1/2).

Answer 2

a^2=5,b^2=5,ab=4
（ma+nb)(a-b)=ma^2-nb^2+(n-m)ab=5m-5n+4(n-m)=0,得m-n=0，即m=n
则m^2+n^2+2m=2m^2+2m=2[m+1/2]^2-1/2
所以m^2+n^2+2m的最小值为-1/2

Answer 3

由（ma+nb)⊥（a-b)解得n=m，则m^2+n^2+2m=2m^2+2m，所以它的最小值为-0.5

Answer 4

/ma+nb/=根号下5m∧2+8mn+5n∧2横大于0，/a-b/=根号2
所以(m+2n,2m+n)(-1,1)=0
-m-2n+2m+n=0，m-n=0 m=n得2m^2+2m=2（m^2+m+1/4）-1/2
n∈R，所以当n=-1/2时，min=-1/2