Question

已知函数发f（x）=-1/3x^3+bx^2+cx+bc，

（1）若函数f（x）在x=1处有极值-4/3，试确定b、c的值；
（2）在(1)的条件下，曲线y=f（x）+m与x轴仅有一个交点，求实数m的取值范围；
（3）记g（x）=|f’（x）|（-1≤x≤1）的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的取值范围。
（参考公式：x^3-3bx^2+4b^3=(x+b)(x-2b)^2）

Answer 1

首先对f(x)求导，极值肯定是一阶导数为0的地方，f'(x)=-x^2+2bx+c,f'(1)=-1+2b+c=0,再加上f(1)=-1/3+b+c+bc=-4/3,解方程组得到两个答案b=1,c=-1 b=-1 c=3;检验得到b=1,c=-1这组，x=1并非极值点，故舍去；最后b=-1,c=3（楼上说的有误，b=1,c=-1时，x=1并非极值点）
第二小问：f'(x)=-x^2-2x+3,通过看一阶导数，可以得到x=1是极大值点；求方程另一个解为x=-3,该点为极小值点。f(-3)=-12;可以得到在区间{x>-3},f(1)为最大值。而在负无穷到-3时函数是递减的，函数图象必和横轴有一个交点，而图像只能和横轴有一个交点，所以f(1)+m必定要小于0；-4/3+m<0,得到m<4/3.
第三小问：结合个g（x）图像，最大值必定在x=1,x=-1,x=b(对称轴)几个点之中，g(1)=|-1+2b+c|;g(-1)=|-1-2b+c|,g(b)=|b^2+c|；既然任意b c都要成立，说明这几个点必须同时大于等于k，g(1)>=k,g(-1>=k),g(b)>k，解上述方程。

Answer 2

(1):f(x)有极值
f'(1)=0
f(1)=-4/3 这两个方程可得b=1 c=-1或b=-1 c=3
(2):当b=1 c=-1时：f'(x)=-x^2+2x-1 此时只有一个极值点且x=1 此时只需f(1)+m=0 就与x轴只有一个交点 算的m=-4/3
当b=-1 c=3时：f'(x)=-x^2-2x+3=-(x+3)(x-1) 有两个极值 要令第二个极值在x轴的下方 f'(1)+m<0
的：m<-4/3

追问

第（3）题呢？第二题是不是m≤-4/3

追答

应该不能合 第三问没做出来