Question

证明：对任意正实数a,b,c,均有 1/(a^3+b^3+abc) +1/(b^3+c^3+abc) +1/(c^3+a^3+abc) <=1/(abc),望高手解决

Answer 1

先证a^3+b^3≥a^2b+b^2a,
由排序不等式，这是显然的，
即1/(a^3+b^3+abc)≤1/(a^2b+b^2a+abc)=1/ab(a+b+c)
同理，1/(b^3+c^3+abc)≤1/bc(a+b+c)
1/(a^3+c^3+abc)≤1/ac(a+b+c)
三式子相加，1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(a^3+c^3+abc)
≤1/ab(a+b+c)+1/bc(a+b+c)+1/ac(a+b+c)=1/abc
引用http://zhidao.baidu.com/question/245793045.html?an=0&si=1
参考

追问

太感谢你了，谢谢！！

追答

没事，我也就是帮个忙！

Answer 2

足下是学奥数的吧？
那好，我就简单讲讲思路。学奥数的智商都很高的，我相信您能理解。
这种题目，要用到一招：局部放缩
先把a^3+b^3放缩为ab^2+ba^2 （排序不等式）（放缩后右边的式子只增不减，保证放缩有效性）
然后两边同乘以abc，即证
1/（b/c+a/c+1)+1/（b/a+c/a+1）+1/(c/b+a/b+1)<=1
令x=a/b
y=b/c
z=c/a
有xyz=1
只需证
1/（y+1/z+1)+1/(1/x+z+1)+1/(1/y+x+1)<=1 （1）
令t=1/（y+1/z+1)
有t=z/(yz+1+z)
则1/(1/x+z+1)=t/z
1/(1/x+z+1)=x/(1/y+x+1)

同理有1/(1/y+x+1)=t/xz=yt
于是只需证t+t/z+yt<=1
亦即t(1/z+y+1)<=1
亦即【1/（y+1/z+1)】*(1/z+y+1)<=1
左边的式子显然等于1！
也就是说，
（1）的等号恒成立。
于是原不等式自然得证。