Question

在圆O中,AB、CD是两条弦,且AB⊥CD于点G,OE⊥BC于点E.求证:OE=1/2AD

Answer 1

过O作OF⊥AD交AD于F，连BO并延长交⊙O于H。
∵BH是直径，∴∠BCH＝90°，又∠BGD＝90°，
而B、D、H、C共圆，∴∠CHB＝∠CDH，∴∠OBE＝∠ABD。［等角的余角相等］
显然有：∠ABD＝∠AOD/2。［同弦所对的圆周角等于圆心角的一半］
∴∠OBE＝∠AOD/2。

∵AO＝BO，OF⊥AD，∴∠DOF＝∠AOD/2，且DF＝AD/2。
由∠OBE＝∠AOD/2、∠DOF＝∠AOD/2，得：
∠OBE＝∠DOF，又BO＝DO，∠BEO＝∠OFD＝90°，∴△OBE≌△DOF，∴OE＝DF。
由DF＝AD/2、OE＝DF，得：OE＝AD/2。