Question

已知Sn是数列﹛an﹜的前几项和，a1=1,Sn+1=4an+2，

（1）设数列{bn}中，bn=an+1-2an,求证:﹛bn﹜是等比数列
（2）设数列{Cn}中，Cn=an/2^n,求证:﹛Cn﹜是等差数列
（3）求数列﹛an﹜的通项公式及前n项和

Answer 1

S(n+1)=4an+2 Sn=4a(n-1)+2 S2=a1+a2=4a1+2=6 a2=5
a(n+1)=S(n+1)-Sn=4an-4a(n-1)
a(n+1)-2an=2[an-2a(n-1)]
(1) 所以bn=a(n+1)-2an=2[an-2a(n-1)]=2b(n-1)
即{bn}是公比为2的等比数列
(2) 由(1) b1=a2-2a1=5-2*1=3
所以bn=a(n+1)-2an=3*2^(n-1)
即an-2a(n-1)=3*2^(n-2)
则an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=3/4
所以cn-c(n-1)=3/4
故{cn}是公差为3/4的等差数列
(3) 由(2) c1=a1/2=1/2
则cn=1/2+(n-1)*3/4=(3/4)n-1/4
即an/2^n=(3n-1)/4
所以通项公式an=(3n-1)/2^(n+2)
前n项和Sn=2/2^3+5/2^4+8/2^5+....+(3n-1)/2^(n+2)
2Sn=2/2^2+5/2^3+8/2^4+...+(3n-1)/2^(n+1)
2Sn-Sn=1/2+3/2^3+3/3^4+...+3/2^(n+1)-(3n-1)/2^(n+2)
Sn=1/2+(3/2^3)[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)-(3n-1)/2^(n+2)
=1/2+(3/4)[1-1/2^(n-1)]-(3n-1)/2^(n+2)
=5/4-3/2^(n+1)-(3n-1)/2^(n+2)
=5/4-(3n+5)/2^(n+2)
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O

Answer 2

S(n＋1)=4an＋2，则当n≥2时，有：Sn=4a(n－1)＋2，两式相减，得：
a(n＋1)=4an－4a(n－1)，其中n≥2。
1、即：a(n＋1)－2an=2an－4a(n－1)=2[an－2a(n－1)]，就是：bn=2b(n－1)，所以{bn}是等比数列；
bn=b1×2^(n－1)=3×2^(n－1)
2、即：a(n＋1)－2an=3×2^(n－1)，两边除于2^(n＋1)，得：[a(n＋1)]/[2^(n＋1)]－[an]/[a^n]=3/4，即：Cn－C(n－1)=3/4=常数，{Cn}是等差数列；
Cn=C1＋(n－1)d=(1/2)＋(3/4)(n－1)
3、即：[an]/[2^n]=(3n－1)/4，得：an=(3n－1)(2)^(n－2)，利用错位法求和。。

追问

谢谢

Answer 3

S(n+1)=4an+2
S(n)=4a(n-1)+2
S(n+1)-S(n)=a(n+1)=4an-4a(n-1)
[1]如果b(n)=a(n+1)-2a(n),由(3)可知 a(n+1)-2a(n)=2a(n)-4a(n-1),即b(n)=2b(n-1)
所以b(n)是等比数列
[2]有(1)知,S(2)=6,所以a(2)=5,所以b(1)=3,所以b是首项为3，公比为2的等比数列。
a(n)=b(n-1)+2*a(n-1)=b(n-1)+2*(b(n-2)+2*a(n-2))=b(n-1)+2*b(n-2)+4*b(n-3)+...+2^(n-2)b(1)+2^(n-1)a(1)
由于{b(n)}的公比为2，所以2*b(n-2)=4*b(n-3)=...=2^(n-2)b(1)=b(n-1)=3*2^(n-2)
所以a(n)=3(n-1)*2^(n-2)+2^(n-1)=(3n-1)*2^(n-2)

追问

谢谢