Question

2010天津高考 设函数g(x)=x^2-2(x∈R),f(x)=g(x)+4+x(x＜g(x)),f(x)=g(x)-x(x≥g(x)),则f(x)的值域

求详细步骤，谢啦！

Answer 1

x<g(x)=x^2-2, 0<x^2-x-2=(x-2)(x+1), x>2或x<-1.
x>=g(x)=x^2-2, 0>=x^2-x-2=(x-2)(x+1), -1<=x<=2.
当-1<=x<=2时,f(x)=g(x)-x=x^2-x-2=(x-2)(x+1)<=0.
f(x)=x^2-x-2=x^2-x+1/4-9/4=(x-1/2)^2 -9/4 >=-9/4.
0>=f(x)>=-9/4.
当x>2或x<-1时,f(x)=g(x)+4+x=x^2+x+2
f'(x)=2x+1, x>2时,f'(x)>0, f(x)单调递增.f(x)>2^2+2+2=8.
x->正无穷时,f(x)->正无穷.
x<-1时,2x<-2, f'(x)=2x+1<-2+1=-1<0,f(x)单调递减. f(x)>(-1)^2 + (-1) +2 = 2.
x->负无穷时,f(x)->正无穷.

综合,有f(x)的值域为,
[-9/4,0]与(2,正无穷)的并集.

Answer 2

solve
x< g(x)
x < x^2 -2
x^2-x-2 > 0
(x-2)(x+1) > 0
x > 2 or x<-1
for x > 2 or x<-1 ,
f(x) = g(x)+4+x
= x^2-2 +4+x
= x^2+x +2
=(x+1/2)^2 + 7/4
for x> 2 ,f(x) is increasing, 值域R1= (8,+无限)
for x< -1, f(x) is increasing, 值域R2= (2,+无限)
for x > 2 or x<-1， 值域R3 = (2,+无限)

for -1≤x≤2
f(x) =g(x)-x
= x^2-2 -x
= (x-1/2)^2 - 5/2
minf(x) = f(1/2) = -5/2
maxf(x) = f(2) = 0
值域R4 = [-5/2,0]

ie
值域R
= R4 U R3
=[-5/2,0] U (2,+无限)

Answer 3

f(x)同时=g(x)+x+4 x<g(x)
=g(x)-x x大于等于g(x)
因为g(x)=x^2-2 (x属于R)
f(x)同时=x^2+x+2 x^2-x-2>0 得：x<-1 或 x>2
=x^2-x-2 x^2-x-2小于等于0 得：-1小于等于x小于等于2
则，原函数的值域：[-9/4,正无穷)

Answer 4

x<g(x)得x<-1或x>2,则
当x<-1或x>2，f(x)=x^2+x+2，开口向上，对称轴x=-1/2在区间外，区间内增函数，（f（-1），正无穷）即（2，正无穷）
当-1<x<2，f(x)=x^2-x-2，对称轴x=1/2在区间内，最小值f(1/2)，最大值f(-1)，即[-9/4,0]
并起来就是值域

Answer 5

当x＜g(x),x＜x∧2－2,x＜-1或x＞2此时f(x)最小2最大+∞
当x≥g(x),-1≤x≤2,此时f(x)最小-4／9
所以f(x)值域(-4／9,+∞)