Question

AB=CD ∠BAD=21° ∠B=46°

求∠DAC 要过程 急

Answer 1

设∠DAC=X
∵三角形内，a/sinA=b/sinB，则有a/b=sinA/sinB
∴在三角形ADC中，AD/CD=sinC/sinX
∴在三角形ABD中，AD/AB=sinB/sin∠ADB
∵∠ADB是三角形ADC的外角
∴∠ADB=∠C+∠X
∵AB=CD
∴AD/CD=AD/AB
∴sinC/sinX=sinB/sin∠ADB=sinB/sin(C+X)
∴整理得到sinC*sin(C+X)=sinB*sinX
用三角函数和差化积公式：sinA*sinB=[cos(A-B)-cos(A+B)]/2
∴{cos[C-(C+X)]-cos[C+(C+X)]}/2=[cos(B-X)-cos(B+X)]/2
∴cos(-X)-cos(2C+X)=cos(B-X)-cos(B+X)
∴cosX-cos(2C+2X-X)=cos(B-X)-cos(B+X)
∵∠ADB=∠C+∠X
∴cosX-cos(2∠ADB-X)=cos(B-X)-cos(B+X)
∵三角形ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=113°
代入∠ADB=113°，∠B=46°
∴cosX-cos(226°-X)=cos(46°-X)-cos(46°+X)
∴cosX-cos(180°+46°-X)=cos(46°-X)-cos(46°+X)
∵cos(180°+X)=-cosX
∴cosX-[-cos(46°-X)]=cos(46°-X)-cos(46°+X)
∴cosX+cos(46°-X)=cos(46°-X)-cos(46°+X)
∴cos(46°+X)=-cosX
对上式求出所有可能的X
∴cos(46°+X)=cos(2n*180°+180°-X)
∴46°+X=2n*180°+180°-X
∴X=n*180°+67°
当然这是通解，考虑到X在三角形内，0°<X<180°
∴∠DAC=X=67°

当然如果有人能够一上来就假设三角形ABC是等腰三角形，那就厉害了。代入这一假设，发现正好符合题目条件，直接解得∠DAC=67°