Question

【高二数学】若a>0,b>0,且a+b=1.求证√(a+1/2)+√(b+1/2)≤2

Answer 1

考虑采用分析法来解决。
<<====(a＋1/2)＋(b＋1/2)＋2√[ab＋1/4＋1/2]≤4
<<====√[ab＋3/4]≤1
<<==== ab≤1/4
考虑到1=a＋b≥2√(ab)，则：ab≤1/4
从而得证。

Answer 2

√(a+1/2)+√(b+1/2)≤2
[√(a+1/2)+√(b+1/2）]^2≤4
a+b+1+2√(a+1/2)(b+1/2)≤4
√(a+1/2)(b+1/2)≤1
ab+(a+b)/2+1/4≤1
ab≤1/4
因为a+b>=2√ab
所以√ab<=1/2
所以ab≤1/24成立
所以√(a+1/2)+√(b+1/2)≤2