Question

三角函数问题

1.分子是sin50°（1+根号3倍tan10°）-cos20° 分母是cos80°根号下1-cos20° 化简

2.已知6sin²α+sinαcosα-2cos²α=0，α∈（π/2，π】，求sin（2α+π/3）的值

3.已知sin（α-π/4）=7根号2 /10 ，cos2α=7/25，求sinα及tan（a+π/3）

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Answer 1

1. [sin50°（1+根号3倍tan10°）-cos20°]/[cos80°根号下1-cos20°]
={2sin50°[(1/2)cos10°+(√3/2)sin10°]/cos10°-cos20°}/[sin10°√2*√(sin10°)^2]
=[(2cos40°sin40°)/cos10°-cos20°]/[√2sin10°*sin10°]
=(sin80°/sin80°-cos20°)/[√2(sin10°)^2]
=(1-cos20°)/[√2(sin10°)^2]
=2(sin10°)^2/[√2(sin10°)^2]
=√2
2. 6sin²α+sinαcosα-2cos²α=0
(3sinα+2cosα)(2sinα-cosα)=0
∵α∈（π/2，π)
∴sinα>0 cosα<0
∴2sinα-cosα>0
∴3sinα+2cosα=0
3sinα=-2cosα
平方9sin²α=4cos²α=4-4sin²α
解得sinα=2/√13 cosα=-3/√13
sin2α=2sinαcosα=-12/13 cos2α=1-2sin²α=5/13
所以sin(2α+π/3)=sin2αcos(π/3)+cos2αsin(π/3)
=(-12/13)*(1/2)+(5/13)*(√3/2)
=(5√3-12)/26
3. cos2α=2cos²α-1=7/25
cos²α=16/25
cosα=±4/5
sin(α-π/4)=sinαcos(π/4)-cosαsin(π/4)=7√2/10
cosα=4/5时 (√2/2)sinα=7√2/10+(√2/2)*(4/5)
sinα=7/5+4/5>1不成立
所以cosα=-4/5
(√2/2)sinα=7√2/10+(√2/2)(-4/5)
解得sinα=3/5
tanα=sinα/cosα=-3/4
所以tan(a+π/3)=[tana+tan(π/3)]/[1-tanatan(π/3)]
=(-3/4+√3)/[1-√3(-3/4)]
=(25√3-48)/11
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Answer 2

sin50°（1+√3*tan10°）-cos20°
=(2sin50°(sin30°cos10°+cos30°sin10°)/cos10°)-cos20°
=2cos40°sin40°/cos10°-cos20°
=1-cos20°=2sin^2(10°)
cos80°√(1-cos20° )=sin10°√2*sin10°=√2sin^2(10°)
结果为√2

(3sinα-2cosα)(sinα+cosα)=0
若sinα+cosα=0 sin(α+π/4)=0 α∈（π/2，π】 α=3/4*π
sin（2α+π/3）=sin(3/2π+π/3)=1/2
若3sinα-2cosα=0 tanα=2/3 α∈（π/2，π】不符合
所以结果为sin（2α+π/3）=sin(3/2π+π/3)=1/2

sinα-cosα=7/5
cos^2(α)-sin^2(α)=7/25
cosα+sinα=-1/5
sinα=3/5 cosα=-4/5 tanα=-3/4
tan(a+π/3)=(tanα+tanπ/3)/(1-tanαtanπ/)=(√3-3/4)/1+3/4*√3)=(48-25√3)/11

Answer 3

第2个等于分子是5倍根号3-6，分母是26