Question

在△ABC,∠ACB=90°,AC=BC,D为AC 的中点，CE⊥BD于E，AF∥BC交CE的延长线于F,求证：AB垂直平分DF。

在△ABC,∠ACB=90°,AC=BC,D为AC 的中点，CE⊥BD于E，AF∥BC交CE的延长线于F,求证：AB垂直平分DF。

Answer 1

∵BD⊥CF，∠ACB＝90°，∠EDC＝∠CDB
∴△EDC∽△CDB
∴∠DCE＝∠DBC
∵AF∥BC
∴∠FAC＝∠ACB＝90°
又∵AC＝CB
∴△FAC≌△DCB
∴AF＝CD
又∵CD＝DA
∴AF＝DA
∴△DAF为等腰Rt⊿
∴∠AFD＝∠ADF＝45°
又∵∠CAB＝45°
设AB交DF于G
∴∠AGD＝90°
即AB⊥DF
又∵△DAF为等腰Rt⊿
∴GD＝GF
即AB平分DF
综上，AB垂直平分DF得证！