Question

请看看这道高中数学题有没有啥新颖的解法？

1已知等差数列（an)的首项a1=1，公差d＞0，且第二项，第五项，第十四项非别是一个等比数列的第二项，第三项，第四项。
（1）求数列（an）的通项公式
（2）设bn=1/m(an+3)（n∈N星），sn=b1+b2+...+bn,是否存在最大的整数t，使得对于任意的n均有sn＞1/36总成立？若存在，求出t，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）简单，就不写了，d=2，an=2n-1
（2）m是t吧？sn>1/36对任意n恒成立知bn>0，从而t>0，
bn=1/[2m(n+1)
sn =b1+b2+...+bn>1/36 变形得
m/18 < 1/2+1/3+......+1/(n+1) ......................①
记①式右边为数列{cn}，明显这是一个递增数列，而①式对任意n恒成立，
从而必有 m/18<1/2成立 推出m<9
即存在最大整数m=8使得对于任意的n均有sn＞1/36总成立.

追问

m为什么等于8？

追答

前面已经推导出m<9，这个没问题吧？（如果m》9那么①式对右边cn第一项即1/2不成立，与题中对任意n恒成立矛盾），而问题中让你求最大整数m，当然m=8.

Answer 2

第一题不用说，的d=2,第二题，bn=1/m(an+3)里面的 m 应该是 t 吧？an=2n-1>0,t也必须大于0，才有sn>1/36>0,所以bn>0,所以sn随n的增大而增大，snmin=s1>1/36,得解

Answer 3

①a2=1+d, a5=1+4d, a14=1+13d,则有(a5)^2=(a2)*(a14)
即有(1+4d)^2=(1+d)(1+13d),解得d=0(舍去)，d=2.
所以an=1+(n-1)d=2n-1
②
第二题，题意不太清楚，不好意思。