Question

证明:n为任意正整数时,n(n-1)(2n-1)必能被6整除

Answer 1

证明：
∵n和n-1必是一奇一偶，
∴n（n-1）必能被2整除，
设n=3k，则n能被3整除，
设n=3k+1，则n-1能被3整除，
设n=3k+2，则2n-1=6k+4-1=6k+3能被3整除，
所以n（n-1）（2n-1）能被3整除，
∴n（n-1）（2n-1）能被6整除．

Answer 2

n(n-1)(2n-1)=(n-1)n(n+1+n-2)=(n-1)n(n+1)+(n-1)n(n-2)=(n-1)n(n+1)+(n-2)(n-1)n
∵(n-1)n(n+1)和(n-2)(n-1)n分别是三个连续的自然数，在三个连续的自然数中，必有一个或两个偶数，而且必有一个可被3整除的数。
∴(n-1)n(n+1)和(n-2)(n-1)n可分别被6整除。
∴n(n-1)(2n-1)必能被6整除