Question

如果一个正整数正好等于它的数字之和的13倍,试求出所有这样的正整数。

如果一个正整数正好等于它的数字之和的12倍，试求出所有这样的正整数。

Answer 1

如果一个正整数正好等于它的数字之和的13倍，试求出所有这样的正整数。
这个正整数不能是一位数！至少是两位数、或三位数、或四位数、...，
1、设这个正整数是 10a+b，10a+b=13(a+b),3a+12b=0,a+4b=0,a=-4b,因为a,b都是一位整数，显然无解；
2、设这个正整数是 100a+10b+c，100a+10b+c=13(a+b+c),87a=3b+12c,29a=b+4c,因为abc是一位整数，29a=b+4c：令 a=1,b=0,c=29/4,是非整数，不是其解，舍弃；令 a=1,b=1,c=7,该数是117；令 a=1,b=5,c=6，该数是156；令 a=1,b=9,c=5,该数是195；其它数将会超出abc是一位数的范围。
3、设这个正整数是 1000a+100b+10c+d，1000a+100b+10c+d=13(a+b+c+d),987a+87b=2c+12d,因为abc是一位整数，987a+87b=2c+12d：令 a=1(a不能为0),cb为任何一位数2c+12d都是偶数，不可能等于987，故无解；令a=2,b=...,d=...c=...,如此这般地一个个去试解，求得结果，希望你理解了自己去解。
4、再推广到4位数...

追问

你是复制的吧

追答

难道有更好的方法么- -

Answer 2

an...a2a1
12(a1+..+an)=ana...a1=an*10^(n-1)+..+10a2+a1
11a1+2a2=88a3+988a4+....+an[10^(n-1)-12]
11a1+2a2<=11*9+2*9=117,因此最多为三位数, a4=a5=..=0
11a1+2a2>=0, a3>=0
11a1+2a2=88a3
a1+2a2/11=8a3
所以有：a2=0,
a1=8a3, a3=1, a1=8
, 所以此数为108

追问

这是什么意思饿，

追答

啊，就是假设这个数为an..a2a1， n位数呀，然后算出其数字和的12倍与原数相等，列出方程。

Answer 3

117、156、195

如果是12倍的话
108

追问

过程

追答

前面已经有人回答了过程了，列个算式解一下就知道了。
另外补充一点就是可以很容易证明大于等于4位数的数字是不可能满足条件的，所以结果就只有这三个三位数。
证明如下：
等于或者超过四位数时，设位数为N，那么最小的N位数为10的(N-1)次方，而N位数的每个数字之和最大为9*N，9*N*13=117N，当N大于等于4时，必然10的(N-1)次方大于117N，无法满足题目中的条件。