Question

用均值不等式求证。调和平均数<=几何平均数<=代数平均数<=平方平均数。（二元的）

用均值不等式求证。调和平均数<=几何平均数<=代数平均数<=平方平均数。（二元的）
我是新高一的，解答不要超纲。

Answer 1

均值不等式是 a^2+b^2>=2ab
先证明√（（ a^2+b^2）/2）>=（a+b）/2
两边平方得（ a^2+b^2）/2>=(a+b）^2/4
移项合并同类项，即得均值不等式
再证调和平均数<=几何平均数
将不等式左边的分母移到右边，乘出来，发现还是均值，得证

Answer 2

已知：a＞0，b＞0，求证：2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√[(a²+b²)/2]
1、证：√ab≤(a+b)/2
∵(√a-√b)²≥0
∴a+b-2√ab≥0
∴a+b≥2√ab…………公式①
即√ab≤(a+b)/2

2、证：2/(1/a+1/b)≤√ab
根据公式①，有
√(a/b) + √(b/a)≥2√[√(a/b) · √(b/a)]=2
左边提取√ab，得
√ab(1/a + 1/b)≥2
即2/(1/a+1/b)≤√ab

3、证：(a+b)/2≤√[(a²+b²)/2]
∵a²+b²≥2ab
两边同时加a²+b²，得
2(a²+b²)≥a²+b²+2ab=(a+b)²
两边同时除以4，得
(a²+b²)/2≥(a+b)²/4
两边取根号，得
(a+b)/2≤√[(a²+b²)/2]