Question

已知函数f(x)=(1/3)^x,x∈[-1,1]函数g(x)=f^2(x)-2af(x)+3的最小值为h(a) 求h(a)

(1)求h(a)
(2)是否存在实数m n同时满足
1 m>n>3
2 当h(a)的定义域[n,m]为值域为[n^2,m^2]

日日日 来人求解啊

Answer 1

∵f(x)=(1/3)^x，x∈[-1，1]
∴f(x)∈[1/3,3]
设f(x)=t
则g(t)=t²-2at+3，t∈[1/3,3]
=(t-a)²+3-a²
对称轴t=a的位置是未知的,无法确定对称轴的位置,就无法判断最小值在何处取得,所以要对a进行分情况讨论
①当a＜1/3时，g(t)在[1/3,3]上单调递增，∴最小值在t=1/3处取得;
此时,最小值h(a)= 28/9 - 2a/3
②当1/3≤a≤3时，最小值在对称轴t=a处取得;
此时,最小值h(a)= 3-a²
③当a＞3时，g(t)在[1/3,3]上单调递减，最小值在t=3处取得;
此时,最小值h(a)= 12-6a
2.
看M、N要满足的第一个条件：M>N>3，也就是要求h(a)定义域大于3，只有第三种情况a>3满足，综上h(a)= 12-6a (a＞3);
∵a＞3，∴h(a)= 12-6a＜0
再看M、N要满足的第二个条件：当h(a)的定义域为[N,M]时，值域为[N²，M²]，值域都为平方型的，即值域是大于等于0，但是由上一个条件得到的h(a)，在a＞3时，h(a)的值域是小于0的，与条件要求不符，所以不存在这样的M和N。

追问

谢

追答

∵f(x)=(1/3)^x，x∈[-1，1]
∴f(x)∈[1/3,3]
设f(x)=t
则g(t)=t²-2at+3，t∈[1/3,3]
=(t-a)²+3-a²
对称轴t=a的位置是未知的,无法确定对称轴的位置,就无法判断最小值在何处取得,所以要对a进行分情况讨论
①当a＜1/3时，g(t)在[1/3,3]上单调递增，∴最小值在t=1/3处取得;
此时,最小值h(a)= 28/9 - 2a/3
②当1/3≤a≤3时，最小值在对称轴t=a处取得;
此时,最小值h(a)= 3-a²
③当a＞3时，g(t)在[1/3,3]上单调递减，最小值在t=3处取得;
此时,最小值h(a)= 12-6a
2.
看M、N要满足的第一个条件：M>N>3，也就是要求h(a)定义域大于3，只有第三种情况a>3满足，综上h(a)= 12-6a (a＞3);
∵a＞3，∴h(a)= 12-6a＜0
再看M、N要满足的第二个条件：当h(a)的定义域为[N,M]时，值域为[N²，M²]，值域都为平方型的，即值域是大于等于0，但是由上一个条件得到的h(a)，在a＞3时，h(a)的值域是小于0的，与条件要求不符，所以不存在这样的M和N。