Question

已知数列 an 满足a1=1 a（n+1）=an/（2^n*an+1）

第一问我已求出an通项公式，第二问是 设A=lim3an/[2a(n+1)] (n→∞）证明对任意m≥2,且m∈N,都有A > (1+1/m)^m

Answer 1

楼上求an求错了
1/a(n+1)-1/a1=2((2^n)-1)/(2-1)=2^(n+1)-2
a(n+1)=1/[2^(n+1)-1]
an=1/(2^n-1)

3an/[2a(n+1)]
=[3/(2^n-1) ]/[2/(2^(n+1)-1) ]
=3*(2^(n+1)-1) /2*(2^n-1)
=3*(2^(n+1)-1) /[2^(n+1)-2]
=[3*2^(n+1)-3] /[2^(n+1)-2]+3-3
=3/[2^(n+1)-2]+3
A=lim3an/[2a(n+1)] (n→∞）=3
题目等价于证明对任意m≥2,且m∈N,都有3 > (1+1/m)^m
一、右边=9/4，因为3>9/4，所以m=2时不等式成立
二、设y= (1+1/m)^m
则ln y=ln[(1+1/m)^m]
ln y=m*ln(1+1/m)
对m求导，y'/y=ln(1+1/m)+(-1/m^2)*m/(1+1/m)=ln(1+1/m)-(1/m)/(1+1/m)=ln(1+1/m)-1/(m+1)
y'=(1+1/m)^m*[ln(1+1/m)-1/(m+1)]
设z=ln(1+1/m)-1/(m+1)
则z'=(-1/m^2)/(1+1/m)+1/(m+1)^2=-1/(m^2+m)+1/(m^2+2m+1)<0
又m=2时z=ln(3/2)-2/3<0
故z<0
故y'<0
又m=2时，y=9/4<3，
故m>2时，y<A,即对任意m≥2,且m∈N,都有A > (1+1/m)^m
证毕

Answer 2

2^n*an*a（n+1）+a（n+1）=an
2^n+1/an=1/a（n+1）

1/a（n+1）-1/an=2^n
1/an-1/a(n-1)=1/2^(n-1)
...
1/a2-1/a1=1/2^1
相加：1/a（n+1）-1/a1=1/2^1+...+1/2^(n-1)+1/2^n=1-1/2^n
即1/a（n+1）=2-1/2^n
an=2^n/(2^(n+1)-1)

追问

an我求出来了的，你好像错了，应该是an=1/(2^n-1)