Question

用数学归纳法证明：若n≥4且n∈N*，则2^（n+1）≥n^2+3n+2

Answer 1

证明:当n=4时，2^（n+1）=2^5=32，n^2+3n+2=4^2+3*4+2=30，2^（n+1）≥n^2+3n+2成立
设：当n=k(k>4)时2^（k+1）≥k^2+3*k+2成立
则 当n=k+1时2^（k+1+1）=2^（k+1）*2 n^2+3n+2=(k+1)^2+3*(k+1)+2
因 (k+1)^2+3*(k+1)+2=k^2+2k+1+3k+1+2=（k^2+3k+2)*2-k^2-k
由于当n=k时等式成立即：2^（k+1）≥k^2+3*k+2两边同时乘以2有
（2^（k+1））*2≥（k^2+3*k+2）*2>=（k^2+3k+2)*2-k^2-k
得到n=k+1时等式也成立
得证结论

Answer 2

当n=4时 2^5=32>16+12+2=30
假设当n=k 时 2^（k+1）≥k^2+3k+2=(k+1)(k+2)
n=k+1 右边= （k+1）^2+3（k+1）+2=k^2+5k+6=(k+1)(k+5)
左边=2^（k+2）=2*2^（k+1）>(k+1)(2k+4)>(k+1)(k+5) (当k>=4)
所以得证

Answer 3

（1）n=4时左=32，右=30，
（2）假设n=k时命题成立，即2^（k+1)≥k^2+3k+2
那么n=k+1时即证2^（k+2)≥（k+1)^2+3(k+1)+2