Question

一道高数题，求高手指教。f(x)在x>0有定义，在x=1处可导，f(xy)=yf(x)+xf(y)。证明f'(x)在x>0存在。

Answer 1

由于在x=1处可导，所以【f(1+t）-f（1）】/t 当t趋于0是极限存在等于f'(1)；
对于任意点x>0 , f(x+t)=f{(1+t/x)x}=xf(1+t/x)+(1+t/x)f(x)=f(x)+t/xf(x)+xf(1+t/x)
所以f(x+t)-f(x)=t/xf(x)+xf(1+t/x)
f(x+t)-f(x) f(1+t/x)
------------=f(x)/x+------------; 当t趋于0是极限存在且等于f(x)/x+f'(1); 根据定义f'(x)在x>0存在
t t/x

Answer 2

按定义f'(x)=[f（x）- f（x1）]/(x-x1)
因为f(xy)=yf(x)+xf(y)
f（x）- f（x1）=f（x）+f（1）-[ f（x1）+f（1）]=f（x）-f(1) +[f（x1）-f(1) ]
所以当x＞0且x≠1时，
f‘（x）=[f（x）-f(1) /(x-1)] [(x-1)/(x-x1）] + [f（x1）-f(1) /(x1-1)] [(x1-1)/(x-x1）]
f（x）在x=1处可导，）[f（x）-f(1) /(x-1)] 函数存在，f‘（x）存在
当x=1时，有题意，f’（x）存在
即f'(x)在x>0存在