Question

复合函数的定积分

有什么常用的公式啊

∫ x d（ ln x）
∫ xe^x dx 中间部分是x乘以 e的x次方

之类的怎么求

Answer 1

首先我提供一个比较通用的思路 对比系数再凑项！比如这题，sinX的原函数是-cosX，那么sin3X原函数就必然有-cos3X，但是（-cos3X）'=3sin3X,相差一个系数3，那么∫sin3X就是-cos3X／3+C.

上面适用于简单复合可以很容易思考出来，对于复杂的复合函数积分，可以采取换元。这个思路就是把复合函数求导反过来用。求导公式是F'(g(x))=F'g'(x),那么积分可以如下套公式。还是举Y=sin3X ：设g=3X，注意此时dg=3dx(这个是关键一步，换元后dx要发生变化）那么原函数∫sinxdx就成为∫sin(g)d(g)／3.

而∫sin(g)d(g)／3=-cos(g)／3+C,此时把g=3X回代到-cos(g)／3+C，就得到cos3X／3+C

所以可以看出遇见简单复合或者容易看出原函数的可以凑微分，要是比较复杂或者没把握，可以用换元的办法。但是不管用很么办法有个基本前提是对一元函数积分公式要熟悉，那样遇见复合函数可以通过换元简化处理

Answer 2

第一个，很简单啊， d（ ln x）算出来即可。第二个，一般用替换啊，∫ xe^x dx =∫ xde^x =xe^x -∫e^ xdx =xe^x-e^x+c

追问

能给出一般化的公式么

好像是 ∫ u dv =uv -∫ v du ？

+_+

追答

对的，就是这个公式，但是你做位置变换的时候要注意函数形式的变换

Answer 3

补充：那叫“分部积分公式”
适用 ∫ x e^x dx ， ∫ x sinx dx ， ∫ x^2 cosx dx , ∫ x arctanx dx
∫ x^2 lnx dx , ∫ e^x cos x dx ......