Question

高中物理竞赛 微元法 微分 积分

ΔE=(1/2)k(x+Δx)^2-(1/2)kx^2=kx*Δx+1/2(Δx)^2....(2)

上式说明：势能增量可以分为两部分，我们关心第一部分，这部分有下面两个特点：

1）与Δx（自变量增量）成正比例
2）当Δx→0时，（2）式左边及右边两项都趋向零，都是无穷小量。但是主要部分在第一项，其余部分是高级无穷小。

所谓高级无穷小是指：如果大家都用Δx除，第一部分剩下kx,不是无穷小，其余部分还剩下Δx,还是无穷小。

具备上述两个特征的部分称为函数E=E(x)的微分，记为dE.即

dE=kxdx（对自变量，微分与增量一样，即Δx=dx)

dE数学上称为微分，物理上称为微元。所谓微元法就是先寻找函数的微分，求出这个函数或这个函数在某点的值

【问题】de=kxdx 这个式子 怎么推出来的？
我是高一学生 学习物理竞赛没有数学基础不行啊 谁能为我讲一下微元法以及微积分这些基础知识呢 在线等 多谢啦

Answer 1

这个很简单的啊，其实用微元法也用到了近似，dE=kxdx的意思是，弹簧伸长量为x时，其弹力为kx，那么如果弹簧再伸长或者缩短一个非常非常小的长度dx，我们可以认为弹簧的弹力基本是不变的，那么在这么段的一个长度上就相当于恒力做功，做功的大小就是dE=（kx）×dx

另外，功也是有几何定义的，功的几何定义就是在F-S图上的曲线与X轴所包围的面积，我们可以看到，弹簧的F-S图是通过原点的一条射线，它与X轴包围的面积就等于0.5kx^2，这就是一开始用到的ΔE=(1/2)k(x+Δx)^2-(1/2)kx^2=kx*Δx+1/2(Δx)^2这个式子的由来，表明弹簧力做功与弹簧的伸长量有直接的关系。
上式中kx*Δx称为一阶无穷小或同阶无穷小，他的特征是除以无穷小量后是一个有限值，比如kx*Δx/Δx=kx，kx在Δx趋于无穷小时还是有限值。
而1/2(Δx)^2是一个二阶无穷小，因为1/2(Δx)^2/Δx=0.5Δx，当Δx在趋近于无穷小时，0.5Δx还是无穷小。
一般来说如果一个式子f(Δx)/(Δx)^n在Δx趋近于0时其值为一常数，那么就称f(Δx)为Δx的n阶无穷小，n大于2时都称为高阶无穷小。
由于高阶无穷小1/2(Δx)^2在Δx在趋近于零时比kxΔx的减小速度快得多，因此一般是可以忽略高阶无穷小的影响的，这就是我说的“可以认为弹簧的弹力基本是不变的”的理由。

Answer 2

给你讲怎么推的你估计也听不懂。我当年也是遇到数学的问题，走了很多弯路，主要就是“砖块”上的很多题都看不了。高中是没有微分的，但是我们高三会学数学归纳法和导数，不知道你们学不学，可以根据导数不严格的定义微积分。由于物理竞赛主要是思路和计算，没有严格的数学证明，所以只要会极限和导数的基本运算，用到国家集训队是足够了的。
如果你高三教材要学归纳法和导数，就看高三教材，很基础很详细，看不懂可以问下老师。然后如果你英语还行的话，推荐美国的微积分教材，比如斯密斯微积分，美国佬说话都极度啰嗦，一个问题用好几种思路反复的说，比较适合初学者。
张大同的《金牌之路》上有专门讲微元法的一节，可以结合题看看，也可以帮助理解的。

追问

能不能讲一下我上文提到的那个十字怎么推到出来的？

Answer 3

同楼上，你还是别找人给你讲了，网上说不清，自学高中导数那部分知识，选修2-x，忘了哪一本了，然后我在书店找到过一本《漫画微积分》，挺简单实用的，或者你找本经济学类的高数翻翻。

Answer 4

去百度文库找微元法、微积分。。那里有详细的解说和基础知识介绍