Question

如图，已知梯形ABCD中。AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E。求证AD=DE。

Answer 1

【方法一】：
解：连接BD，延长DF交BC于G点
∵ CF平分∠BCD
∴ ∠BCF=∠DCF

∵ BC=DC；∠BCF=∠DCF；△BCF与△DCF共边CF；
∴ △BCF与△DCF是全等三角形， （根据全等三角形判定公理的判定，“边角边”）
则：∠BCF=∠DCF
BF=DF

∵ ∠BFG与∠DFE是对顶角，
∴ ∠BFG=∠DFE

∵ 已求得 ：∠BCF=∠DCF；BF=DF；∠BFG=∠DFE
∴ △BGF与△DEF是全等三角形， （根据全等三角形判定公理的判定，“边角边”）
则：BG=DE

∵ AD//BC，DF//AB
∴ ⠀ADGB为平行四边形，即：
AD=BG，
∵ 已求得：BG=DE，AD=BG；
∴ AD=DE=BG

【方法二】：
解：连接BD，延长CF交BD于H点
∵ CF平分∠BCD
∴ ∠BCF=∠DCF
∵ BC=DC；∠BCF=∠DCF；△BCF与△DCF共边CF；
∴ △BCF与△DCF是全等三角形， （根据全等三角形判定公理的判定，“边角边”）
则：BF=DF
△BCD是等腰三角形 （根据等腰三角形的定义判定）
则：∠DBC=∠BDC

∵ 已求得：BF=DF
∴ △BFD是等腰三角形 （根据等腰三角形的定义判定）
则：∠DBF=∠BDF

∵ DF//AB
∴ ∠ABD=∠BDF
∵ 已经求得：∠DBF=∠BDF
∴ ∠ABD=∠BDF=∠DBF

∵ AD//BC
∴ ∠ADB=∠DBC
∵ 已经求得：∠DBC=∠BDC
∴ ∠ADB=∠DBC=∠BDC

∵ 已经求得： ∠ABD=∠DBF，∠ADB=∠BDC；△ABD与△EDB共边BD
∴ △ABD与△EDB是全等三角形， （根据全等三角形判定公理的判定，“角边角”）
则：AD=DE

Answer 2

证明：延长DF与BC交于G点
∵CF平分∠BCD
∴∠BCF=∠FCD
∵CF=CF BC=CD
∴△BCF≌DCF
∴∠FBG=∠FDE BF=FD
∵∠BFG=∠EFD ∠FBG=∠FDE BF=FD
∴△SFG≌△DFE
∴BG=DE
∵AD∥BG AB∥DG
∴四边形ABGD 是平行四边形
∴AD=BG
∴AD=DE
我觉得做这道题，首先应该想到等量代换，因为从题面看，不能将AD DE 联系到一起，所以，可引辅助线。得到平行四边形。进而代换。