Question

已知数列满足（an) : a1=2, 且an+1=2(n+1)an /an+n (n属于N*)

1）求证：数列(n/an--1)为等比数列，并求数列（an)的通项公式；
2） 证明：a1+a2/2+a3/3 +......+an/n <n+2,n属于N*

Answer 1

a(n+1)=2(n+1)a(n)/[a(n)+n],
a(n+1)/(n+1)=2a(n)/[a(n)+n],
若a(n+1)=0, 则a(n)=0, ..., a(1)=0,与a(1)=2矛盾.
因此,a(n)不为0.
b(n)=n/a(n),
1/b(n+1)=a(n+1)/(n+1)=2/[1+n/a(n)]=2/[1+b(n)],
b(n+1)=[1+b(n)]/2=b(n)/2 + 1/2
b(n+1)-1 = b(n)/2 - 1/2 = [b(n)-1]/2,
{b(n)-1}是首项为b(1)-1=1/a(1)-1=1/2-1=-1/2,公比为(1/2)的等比数列.
b(n)-1=(-1/2)(1/2)^(n-1)=-1/2^n
n/a(n)=b(n)=1-1/2^n=(2^n-1)/2^n
a(n)=n*2^n/[2^n-1],
a(n)/n=2^n/[2^n-1]=1+1/[2^n-1]<1+1/[2^n-2^(n-1)] = 1+1/2^(n-1),
a(1)/1+a(2)/2+...+a(n)/n < n + [1+1/2+...+1/2^(n-1)] = n+[1-1/2^n]/(1-1/2)
=n+2[1-1/2^n] = n+2 - 1/2^(n-1)
< n+2