Question

快，一道数学题，来救命啊！

设f(x)是定义在上的奇函数，且当x大于等于0时，f(x)=x^2.若对任意的x€[t,t+2].不等式f(x+t)大于等于2f (x)恒成立，则实数t的取值范围是多少？（请给出过程，谢谢）

Answer 1

解：当x≥0时，f（x）=x²
∵函数是奇函数
∴当x＜0时，f（x）=-x²
∴f（x）= {x² x≥0 -x² x＜0，
∴f（x）在R上是单调递增函数，
且满足2f（x）=f（√2x），
∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（√2x）在[t，t+2]恒成立，
∴x+t≥√2x在[t，t+2]恒成立，
即：x≤（1+√2）t在[t，t+2]恒成立，
∴t+2≤（1+√2）t
解得：t≥√2，
故答案为：[√2，+∞）．

Answer 2

由已知，x小于0时，f(x)=-x²
(1)若t> 0 , 由 f(x+t）≥2f(x) ,
有 (x+t)² ≥2x²
│x+t│≥ (√2)*│x│ ①
由t>0,x∈[t,t+2],则x>0,x+t>0
解得 x ≥[(√2)-1]*t，若设g(t)=[(√2)-1]*t为一次函数,要不等式恒成立，只需要x=t和x=t+2处不等式成立
x=t 时，① 可写成
│t+t│≥ (√2)*│t│
即不等式① 恒成立
x=t＋2 时，① 可写成
│t+2+t│≥ (√2)*│t+2│
解得 t ≥√2
由于在区间[0,+∞)内f(x)严格单调递增， 故 t≥√2 时， 不等式 f(x+t）大于等于2f(x)恒成立

(2）若t<0, t+2>0, 即 -2 < t < 0 ,
当 t≤x<0 时，由
f(x+t）≥2f(x) ,
有 -(x+t)² ≥ -2x²
│x+t│≤ (√2)*│x│ ②
x=t 时，②可写成
│t+t│≤(√2)*│t│
上式不成立，故这时不等式① 不成立
故 t 不能位于（－2，0）

(3）若t≤ -2
当 t ≤x<t+2 时，由
f(x+t）≥2f(x) ,
有 -(x+t)² ≥ -2x²
│x+t│≤ (√2)*│x│ ③
x=t 时，③ 可写成
│t+t│≤(√2)*│t│
上式不成立，故这时不等式① 不成立
故 t 不能位于（－∞ , -2]

综上所述， t ≥ √2 ，即t 的取值范围为[√2, +∞ )