Question

高一数学求函数值域的一道题目啊

求函数f(x)=2x+1/x-2 ,x∈(-∞，1]的值域，老师用他的函数源 5/x-2 啥的解释，觉得怪怪的。他答案是[3,2）
错了，答案是[-3,2）

Answer 1

这是一个双峰函数，或者叫对号函数的变形
形如y=ax+ (b/x) 条件是ab＞0 本题在其后面加了一个常数 不影响做题
这里a=2，b=1

在x=正负根号下(b/a)取得最值
当x∈(-∞，0)时 在负根号下 二分之根号二取得最大值=负二倍根号二-2
当x∈(0,1]时 在根号下二分之根号二取得最小值=二倍根号二-2
在1处取得最大值= 1

综上 函数在x∈(-∞，1]的值域 为 (-∞,负二倍根号二-2)∪(二倍根号二-2,-1)

Answer 2

化解一下f(x)=2x-4+5/x-2=2(x-2)+5/x-2=2+5/x-2
所以当x取负无穷时f(x)=2,当x取1时f(x)=-3

Answer 3

第2人的解释我认为你能理解，找到一个属于自己的解题方法是很重要的，要学会2条腿走路，老师的解题方法可能你接受不了，但是有别的方法，数学要学会灵活。。。。谢谢

Answer 4

先求导：
f’(x)=（-5）/(x-2)²
当x∈(-∞，1]时，f’(x)＜0，∴函数f(x)=2x+1/x-2在(-∞，1]单调递减
易得lim（2x+1/x-2）=2
x→-∞
f(1)=-3
∴函数f(x)=2x+1/x-2当x∈(-∞，1]时的值域为 [-3,2）