Question

一动圆与圆x^2+y^2=1外切，而与圆x^2+y^2-6x+8=0内切，那么动圆的圆心的轨迹是？

Answer 1

x^2+y^2=1的半径r1=1,圆心O1(0,0)
x^2+y^2-6x+8=0化成标准式得:(x-3)^2+y^2=1,
所以半径r2=1,圆心O2(3,0)
设未知圆的半径为R,圆心为 Ox
因为该圆与圆x^2+y^2=1外切，而与圆(x-3)^2+y^2=1内切,
所以OxO1=R+r1=R+1
OxO2=R-r2=R-1
所以OxO1-OxO2=R+1-R+1=2(为一定值)
所以圆心Ox的轨迹是一个双曲线,O1,O2为两焦点
但我们定义双曲线时强调的是一动点到两定点距离之差的绝对值是一个定值,这时候双曲线是一个完整的图形,对于此题由于OxO1-OxO2没有加上绝对值,
所以双曲线只有一支(如果动圆的圆心也可以在左支的话,在坐标轴上是画不出如题的图形的),
所以动圆的圆心在双曲线的右支
* 在此为你算出双曲线:因为O1(0,0),O2(3,0)为两焦点,
所以c^2=9/4
因为OxO1-OxO2=R+1-R+1=2=2a
所以a^2=1,
又因为b^2=c^2-a^2
所以b^2=5/4
因为O1(0,0),O2(3,0)为两焦点,
所以双曲线的中心为O(3/2,0)

所以双曲线的方程为:5(x-3/2)^2-4y^2=5(x>=5/2)

Answer 2

在直线2X=3上