Question

设锐角三角形abc的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA.求cosA+sinC得取值范围？

Answer 1

因为a=2bsinA.
所以a/sinA=2b，由正弦定理得a/sinA=b/sinB
所以sinB=1/2，因为是锐角Δ
所以B=30，所以A+C=150
cosA+sinC=cosA+sin（150-A)=cosA+sin(A+30)=1.5cosA+√3/2sinA=√3sin（A+60）
因为是锐角Δ，所以A为锐角，所以A+60在（60，150）
所以当A+60=90时，cosA+sinC有最大值√3
当A+60=150时，cosA+sinC有最小值√3/2（取不到）
所以cosA+sinC的取值为（√3/2，√3]

Answer 2

∵a=2bsinA
b/sinB=a/sinA=2b
sinB=1/2
B=30°,或150°
所以:cos[(B/2)-45°]=cos(-30°)=√(3)/2
或,cos[(B/2)-45°]=cos(30°)=√(3)/2
cosA+sinC=sin(90°-A)+sinC=2sin[45°-(A-C)/2]*cos[45°-(A+C)/2]
=2sin[45°-(A-C)/2]*cos[(B/2)-45°]
=√(3)*sin[45°-(A-C)/2]
当(A-C)/2=-45°, C-A=90°,cosA+sinC为最大值:√(3)
A-C=(A+C)-2C=180°-B-2C<180°-B≤180°-30°
(A-C)/2<75°
45°-(A-C)/2>45°-75°
45°-(A-C)/2>-30°
所以:cosA+sinC>√(3)*sin(-30°)
cosA+sinC>-√(3)/2
综合以上,得: -√(3)/2<cosA+sinC≤√(3)