Question

试用定义判断函数f(x)=2x/x-1在区间(1,正无穷)上的单调性

Answer 1

解：f(x)=(2x-2+2)/(x-1)=2 + 2/(x-1)
任对于任意的X1>X2>1
有：f(x1)-f(X2) =2/(x1-1)-2/(x2-1)
=2(x2-x1)/[(x1-1)(x2-1)]
因为X1>X2>1，所以x2-x1<0,x1-1>0,x2-1>0
易得：f(x1)-f(X2)=2(x2-x1)/[(x1-1)(x2-1)]<0
即f(x)=2x/x-1在区间(1,正无穷)上是单调减函数

Answer 2

设1<X1<X2,且X1、X2属于R
F(X1)-F(X2)=2X1/(X1-1)-2X2/(X2-1)
=2(X1-X2)/[(X1-1)(X2-1)] (通分化简）
因为（X1-X2)<0,(X1-1)(X2-1)>0
所以F(X1)-F(X2)<0即F(X1)<F(X2)
所以F(X)在（1，正无穷）上为增函数

Answer 3

设x_1>x_2≥1,
f(x_1)-f(x_2)=2x_1/(x_1-1)-[2x_2/(x_2-1)]
=[2x_1(x_2-1)-2x_2(x_1-1)]/[(x_1-1)(x_2-1)]
=[2（x_2-x_1）]/[(x_1-1)(x_2-1)]
<0
f(x_1)<f(x_2)
所以f（x）在（1，+∞）上单调递减