Question

设数列f(x)=ax^2+bx+c,且f(1)=-a/2.3a>2c>2b,求证 函数f(x)在区间（0,2）内至少有一个零点

Answer 1

解：
∵f(1)=-a/2
∴a+b+c= -a/2 ∴3a+2b+2c=0
又∵3a>2c>2b ∴a＞0,b﹤0,c﹤0
f(0)=c＜0, f(2)=4a+2b+c＞3a+2b+c＞3a+2b+2c=0 ∴f(2)＞0
这个连续函数∴在(0,2)区间内至少必有一个点f(X)=0，即在此区间内至少有一个零点

Answer 2

f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=(3a+2b+2c)+(a-c)=a-c,注意到3a>2c，即c<3a/2,且a>0，接下来要分类讨论了：
0<a<c<3a/2时
这时f(0)=c>0,f(2)=a-c<0，在(0,2)间必有零点；
c<0时
这时f(0)=c<0,f(2)=a-c>0，在(0,2)间必有零点；
0<c<a时
我们来看函数的对称轴x=-b/2a，由于b=-(3a+2c)/2,c的范围为（0,a)
联立可得-b/2a的范围为(5/4,3/2),是在（0,2)区间内，方程判别式
b^2-4ac=(3a+2c)^4-4ac=(9a^2-4ac+4c^2)/4,这个式子配方后是两个完全平方的和，所以原方程判别式不大于等于0，即原方程一定与x轴有交点，又f(0)>0,f(2)>0,可知这个交点一定在(0,2)间
c=0或c=2时，这个可以单独提出来算一下，可以得到确定的结果，是满足题设的。