Question

【急求】高中数学函数题，希望有过程！！

如图三题，好有加分！

Answer 1

17、已知函数f(x)的定义域为R+，且满足条件f(x)=f(1/x)*lgx+1，求f(x)的表达式。
解：对于已知条件f(x)=f(1/x)*lgx+1 …………①
将x换成1/x得f(1/x)=f(x)*lg(1/x)+1 …………②
①②消掉f(1/x)得
f(x)=[f(x)*lg(1/x)+1]*lgx+1
f(x)= -f(x)*(lgx)²+lgx+1
[1+(lgx)²]*f(x)=lgx+1
f(x)=(1+lgx)/[1+(lgx)²]

18、已知f(x)=(bx+1)/(2x+a)，a，b为常数，且ab≠2。
(1)若f(x)*f(1/x)=k，求常数k的值；
(2)若f[f(1)]=k/2，求a，b的值。
解：(1)由f(x)*f(1/x)=k，得
[(bx+1)/(2x+a)]*[(b/x+1)/(2/x+a)]=k
[bx²+(b²+1)x+b]/[2ax²+(a²+4)x+2a]=k
(b-2ak)x²+(b²+1-a²k-4k)x+(b-2ak)=0
依题意，上面的方程对任意x都成立，所以x的系数均为0，即
①b-2ak=0且②b²+1-a²k-4k=0
①②消掉k得
a²b+4b=2ab²+2a
a²b-2a=2ab²-4b
a(ab-2)=2b(ab-2)
因为ab≠2，所以上面的等式化简得a=2b，再代回②得k=1/4；
(2)看样子这一问要在前一问的基础上做，
f(1)=(b+1)/(a+2)，所以
f[f(1)]=[b(b+1)/(a+2)+1]/[2(b+1)/(a+2)+a]=(b²+b+a+2)/(a²+2a+2b+2)
从而(b²+b+a+2)/(a²+2a+2b+2)=k/2
结合前一问得出的结果a=2b，k=1/4，解得
a= -2，b= -1或a= -7，b= -7/2。
其中前一组解与ab≠2矛盾，所以只有
a= -7，b= -7/2。

19、设函数f(x)=(ax+b)/(x-c) (x≠c)不恒为零，且对定义域内的任意x都有f(2+x)+f(2-x)=0，而f[f(x)]=2(x-c)/(2c-x)，求f(x)。
解：f(x)=(ax+b)/(x-c)=a+[(ac+b)/(x-c)]
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可见f(x)的图像是由反比例函数y=(ac+b)/x右移c个单位再上移a个单位而得的，所以f(x)的图像对称中心为(c，a)，
又由f(2+x)+f(2-x)=0可知f(x)的图像对称中心为(2，0)，所以
直接有a=0，c=2
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上面记号间的部分如果看不懂，那就用笨方法：
由f(2+x)+f(2-x)=0得
a+[(ac+b)/(2+x-c)]+a+[(ac+b)/(2-x-c)]=0，化简整理得
ax²+(2a+b)(c-2)=0
要使上式对定义域内的任意x都成立，只有x的系数为0，即a=0，进而(2a+b)(c-2)=0，即
b(c-2)=0
显然，若b=0，则f(x)=0，不符题意，所以只有c-2=0，c=2
从而f(x)=b/(x-2)
再由f[f(x)]=2(x-c)/(2c-x)得
f[f(x)]=2(x-2)/(4-x)
f[b/(x-2)]=2(x-2)/(4-x)
b/[b/(x-2)-2]=2(x-2)/(4-x)
(b-4)x=2b-8
要使上式对定义域内的任意x都成立，只有x的系数为0，即b-4=0，进而b=4
从而f(x)=4/(x-2)。

Answer 2

1.已知函数f(x)的定义域为x>0，且满足条件f(x)=f(1/x)lgx+1，求f(x)的表达式。
解：∵f(x)=f(1/x)lgx+1......................(1)
∴f(1/x)=f(x)lg(1/x)+1=-f(x)lgx+1.......(2)
将(2)代入(1)式得f(x)=[-f(x)lgx+1]lgx+1=-f(x)lg²x+lgx+1
(1+lg²x)f(x)=lgx+1
∴f(x)=(1+lgx)/(1+lg²x)
2.已知f(x)=(bx+1)/(2x+a)，a，b为常数，且ab≠2；
①若f(1/x)=k,求常数k；②若f[f(1)]=k/2，求a，b的值。
解：①f(1/x)=(b/x+1)/(2/x+a)=(x+b)/(ax+2)=(x+b)/[a(x+2/a)]=k，只有b=2/a，即ab=2时，k=1/a
才可能是常数；但条件规定ab≠2，这就不知道该怎么求了！
②f(1)=(b+1)/(2+a)，f[f(1)]=[b(b+1)/(2+a)+1]/[(2(b+1)/(2+a)+a]=[b(b+1)+(2+a)]/[2(b+1)+a(2+a)]
=(b²+b+a+2)/(a²+2a+2b+2)=k/2
即有(2b²+2a+2b+4)/(a²+2a+2b+2)=k
故得a=2，b=1，k=1.
3.设函数f(x)=(ax+b)/(x-c)(x≠c)不恒为零，且对定义域内的任意x都有f(2+x)+f(2-x)=0，而f[f(x)]
=2(x-c)/(2c-x)，求f(x).
解：f(2+x)+f(2-x)=[a(2+x)+b]/(2+x-c)+[a(2-x)+b]/(2-x-c)=(ax+2a+b)/(x-c+2)+(-ax+2a+b)/(-x-c+2)
=(ax+2a+b)/(x-c+2)+(ax-2a-b)/(x+c-2)=0
故有x-c+2=x+c-2，即有2c=4，故c=2；ax+2a+b=-(ax-2a-b)，即有2ax=0，故a=0.
故f(x)=b/(x-2)；故f[f(x)]=b/[b/(x-2)-2]=b(x-2)/(b-2x+4)=b(x-2)/(-2x+b+4)
又已知f[f(x)]=2(x-c)/(2c-x)=2(x-2)/(4-x)，故得：
b(x-2)/(-2x+b+4)=2(x-2)/(4-x)，
即有b/(-2x+b+4)=2/(4-x)，b(4-x)=2(-2x+b+4)，-bx+4b=-4x+2b+8，于是得b=4.
∴f(x)的解析式为：f(x)=4/(x-2).

Answer 3

简单看了一下前两个题，因为有的字符没法打~简单说一下思路。
第一题，赋值法，令X=1/X，两式联立即可得；
第二题，按要求带进去就行了~别怕麻烦~试试准能出来