Question

已知导函数与原函数的关系，求该函数

怎样以此来确定f(x)的形式？可以用参数表示出f(x)

Answer 1

至于常数c的取值，请自己讨论。

追问

验算一下吧，答案不对哈
而且你和上面那个人第一次貌似有同样的错误~

追答

其中一步失误了。
由
g(x)/x^2-g'(x)/x=1
得
[-g(x)/x]^2=1
从而得
g(x)=cx-x^2
(注意到g(x)>0，常数c可以继续讨论)
即f(x)=sqrt(cx-x^2)或f(x)=-sqrt(cx-x^2)。
sqrt表示是开根号的意思。

Answer 2

原式化为2x*f(x)*f'(x)=[f(x)]^2-x^2
x*{[f(x)]^2}'=f(x)]^2-x^2
令 u(x)=[f(x)]^2
则x*u'(x)=u(x)-x^2
x*u'(x)-u(x)=-x^2
(x*u(x))'=-x^2
x*u(x)=-x^3/3+C
u(x)=-x^2/3+C/x
即 f(x)]^2=-x^2/3+C/x
所以 f(x)=根号(-x^2/3+C/x) 或 f(x)=-根号(-x^2/3+C/x)

追问

验算一下貌似不太对呢

追答

呵呵，其中一步搞错了
原式化为2x*f(x)*f'(x)=[f(x)]^2-x^2
x*{[f(x)]^2}'=f(x)]^2-x^2
令 u(x)=[f(x)]^2
则x*u'(x)=u(x)-x^2
x*u'(x)-u(x)=-x^2
可设u(x)=x*C(x)
代入可得C'(x)=-1
C(x)=-x+C
u(x)=-x^2+Cx
即 f(x)]^2)=-x^2+Cx
所以 f(x)=根号(-x^2+Cx) 或 f(x)=-根号(-x^2+Cx)

追问

非常感谢你的解答！还有一个地方有一点点问题，
有了x*u'(x)-u(x)=-x^2
为什么就想到：可设u(x)=x*C(x)
我高一的学生导数部分还没有学很深入

追答

呵呵，这个靠观察，也要有点经验，
比如x*u'(x)-u(x)=-x^2
认真观察一下，可以判断u(x)为多项式，且常数项为0，所以这样设u(x)=x*C(x)。
一般这样的情况，可以多试几次，