Question

a,b,c为三角形的三条边，证明 （a平方+b平方-c平方）的平方-4a平方b平方<0怎么证明啊

Answer 1

（a平方+b平方-c平方）的平方-4a平方b平方
=(a²+b²-c²)²-(2ab)²
=(a²+b²-c²+2ab)(a²+b²-c²-2ab)
=[(a²+2ab+b²)-c²][(a²-2ab+b²-c²)]
=[(a+b)²-c²][(a-b)²-c²]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
因为a,b,c为三角形的三条边，
则有：a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b+c＞0，a-b-c＜0，
乘积(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)中有三个是正数，一个是负数，
则它们的积为负数；即(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)＜0；
所以
（a平方+b平方-c平方）的平方-4a平方b平方<0

Answer 2

(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2
=(a^2+b^2-c^2+2ab)(a^2+b^2-c^2-2ab)
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
由三角形两边之和大于第三边，知
前三个刮号内为正，最后一个刮号为负
所以(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2<0

Answer 3

设a>b>c. 由于三角形边的性质。 a-b<c<a+b
(a2+b2-c2)2<[a2+b2-(a-b)2]2=(2ab)2=4(a2b2)
所以 （a平方+b平方-c平方）的平方<4a平方b平方
所以 （a平方+b平方-c平方）的平方-4a平方b平方<0