Question

解对数不等式：log以4为底(3^x-1)的对数 乘以 log以0.25为底((3^x-1)/16)的对数 小于等于 0.75

Answer 1

解对数不等式：[log‹4›(3^x-1)]{log‹1/4›[(3^x-1)/16]} ≦0.75
解：[log‹4›(3^x-1)]{log‹4›[16/(3^x-1)]}≦0.75
[log‹4›(3^x-1)][2-log‹4›(3^x-1)]≦3/4
令log‹4›(3^x-1)=u，则有：-u²+2u≦3/4，即有4u²-8u+3=(2u-3)(2u-1)=4(u-3/2)(u-1/2)≧0
故得u₁≦1/2；u₂≧3/2.
由log‹4›(3^x-1)≦1/2=log‹4›2，得3^x-1≦2，3^x≦3，故得解为x≦1.
由log‹4›(3^x-1)≧3/2=log‹4›8，得3^x-1≧8，3^x≧9=3²，故得解为x≧2.
原不等式的解集为{x︱x≦1}∪{x︱x≧2}.

Answer 2

首先必须满足3^x-1>0
原式为：(lg(3^x-1)/lg4)*(lg(3^x-1)-lg16)/lg0.25<=0.75
因为lg0.25=-lg4,lg16=2lg4
所以(lg(3^x-1))^2-2lg4*lg(3^x-1)+0.75(lg4)^2>=0
△=4(lg4)^2-3(lg4)^2恒大于零
解为lg(3^x-1)>=1.5lg4或lg(3^x-1)<=0.5lg4
即3^x-1>=8或3^x-1<=2
结合3^x-1>0得3^x-1>=8或0<3^x-1<=2
从而x>=2或者1>=x>0