Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD且PA=2AB
（1）求证：平面PAC⊥平面PBD
（2）求二面角B-PC-D的余弦值

这题不是很会。
注意：我需要详细的解答过程，谢谢！

Answer 1

（1）
连接BD、AC，因ABCD为正方形，则BD垂直AC
因PA垂直面ABCD，则PA垂直BD
则BD垂直面PAC
则面PBD垂直面PAC即面PAC垂直PBD

（2）
过B作BE垂直PC于E，连接DE
因BD垂直面PAC，则BD垂直PC，则PC垂直面BDE，PC垂直DE
则角BED即为角B-PC-D二面角
设正方形边长为a,则PA=2a
因PA垂直ABCD，则PA垂直BC
又BC垂直AB，则BC垂直PAB，则BC垂直PB
PB=(根5)a，PC=(根6)a
由BC*PB=PC*BE，得BE=(根30)a/6,同样得DE=(根30)a/6
(求的方法有很多种,下面说其中之一)
BD=(根2)a
BD^=BE^+DE^-2BE*DE*cos角BED
得cos角BED=-1/5
即二面角B-PC-D的余弦值为-1/5

Answer 2

(1)∵底面ABCD是边长为a的正方形
∴AC⊥BD
又∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥BD
∵AC∩PA=A
∴BD⊥平面PAC
∴平面PAC⊥平面PBD
(2)建立以A为原点的空间直角坐标系A-XYZ
B（a，0，0），C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,2a)
设BPC的法向量为n1=（x1，y1，z1），DPC的法向量为n2=（x2，y2，z2）
n1*BC=0，n1*PC=0
n2*PC=0 ,n2*CD=0
解得n1=（2，0，1）
n2=（（0，2，1）
n1*n2=2*0+2*0+1*1=1=√（2²+1²）*√（2²+1²）*cosα
cosα=1/5 （此方法较常规，无需动脑经）
望采纳

Answer 3

解析：∵在四棱锥p-abcd中,底面abcd是边长为a的正方形,侧面pad⊥底面abcd
过p作pg⊥ad
∴pg⊥底面abcd
∵pa=pd=（根号2/2）ad，e,f分别为pc,bd的中点
∴pa=pd=√2/2a
建立以g为原点，以ga方向为x轴，以ab方向为y轴，以gp方向为z轴正方向的空间直角坐标系g-xyz
则点坐标：g(0,0,0)，a(a/2,0,0)，b(a/2,a,0)，c(-a/2,a,0)，d(-a/2,0,0)，p(0,0,a/2)，e(-a/4,a/2,a/4)，f(0,a/2,0)
向量dp=(a/2,0,a/4)，向量dc=(0,a,0)，向量db=(a,a,0)
设向量m=(x,y,z)是面pdb的一个法向量
向量m*向量db=ax+ay=0
向量m*向量dp=a/2x+a/4z=0
令x=1，则y=-1，z=-2
∴向量m=(1,-1,-2)==>|向量m|=√6
设向量n=(x,y,z)是面pdc的一个法向量
向量n*向量dc=ay=0
向量n*向量dp=a/2x+a/4z=0
令x=1，则y=0，z=-2
∴向量n=(1,0,-2)==>|向量n|=√5
向量m*向量n=5
cos<向量m,向量n
>=(向量m*向量n)/(|向量m|*|向量n|)=5/(√5*√6)=√30/6
∴二面角b-pd-c的正切值√5/5