Question

求会微积分的达人来做2道题目

用微元法求1.抛物线y=x^2与x=y^2所围成的图形的面积
用微元法求2.抛物线y^2=2x与直线y=x-4所围成的图形

Answer 1

第一题：
联立两方程
y = x^2
x = y^2
解得两曲线的两交点分别为(1,1),(0,0)

由定积分的几何意义知，
两曲线围成的面积为在积分区间[0,1]内抛物线x=y^2与x轴围成的面积与抛物线y=x^2与x轴围成的面积之差。

所以
S = ∫<0,1> (√x)dx - ∫<0,1> x^2 dx = [(2/3)x^(3/2)]<0,1> - [(1/3)x^3]<0,1>= 2/3 - 1/3 = 1/3

注：<0,1>表示积分区间。

第一题：
联立两方程
y^2=2x
y=x-4
解得两曲线的两交点分别为(2,-2),(8,4)
由定积分的几何意义知，
两曲线围成的面积为在积分区间[-2,4]内直线y=x-4与y轴围成的面积与抛物线y^2=2x与y轴围成的面积之差。
所以
S = ∫<-2,4> (y+4)dy - ∫<-2,4> 1/2y^2 dy = [1/2y^2 + 4y]<-2,4> - [1/6y^3]<-2,4> = 30 - 12 = 18

注：<-2,4>表示积分区间。