Question

关于立体几何的题，帮下忙，谢谢。

在三棱锥S-ABC中，三角形ABC是边长为4得正三角形，平面SAC垂直面ABC，SC等于SA等于2倍根号3，M，N为AB，SB中点。1.证明AC垂直SB。2求2面角N-CM-B的大小。不要用向量求解，谢谢。

Answer 1

解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结DS、DB.

∵SA=SC，BA=BC，

∴AC⊥SD且AC⊥DB，

∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，

∴AC⊥SB.

（Ⅱ）∵SD⊥AC，平面SAC⊥平面ABC，

∴SD⊥平面ABC.

过D作DE⊥CM于E，连结SE，则SE⊥CM，

∴∠SED为二面角N-CM-B的平面角.

由已知有DE∥＝1／2AM，所以DE=1，又SA=SC=2√3，AC=4，∴得出SD

在Rt△SDE中，tan∠SED=SD
／ED2，

∴二面角N-CM-B的大小为〔arccos 三分之一〕.

解法2： 由于AC⊥SB
（1）由（Ⅰ）得 向量CM=（3，根号3 ，0）， 向量MN=（-1，0， 根号2）
.设向量n =（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，有：
向量CM•向量n =3x+根号3 y=0，
向量MN• 向量n=-x+根号2 z=0，
取z=1，则x= 根号2，y=-根号6 ，
∴向量n =(根号2 ，-根号6 ，1)，又 向量OS=(0，0，2根号2 )为平面ABC的一个法向量
，∴cos( 向量n，向量OS )= 三分之一 .
∴二面角N-CM-B的大小为arccos 三分之一
(2)由（Ⅰ）（Ⅱ）得向量MB=（-1，√3， 0）.向量n =(√2 ，-√6 ，1)为平面CMN的一个法向量，
∴点B到平面CMN的距离d=｜向量MB*向量n｜/｜向量n｜=4√2/3