Question

已知:M是Rt三角形ABC斜边BC的中点,P.Q分别在AB,AC上,且PM⊥QM,求证:PQ2=PB2+QC2.

Answer 1

证明：∵PM⊥MQ ∴(PM)^2+(MQ)^2=(PQ)^2，又∵M是BC的中点和PM⊥MQ这两个条件，知P,Q点分别是AB,AC的中点，则根据“三角形的中位线是底边的一半”的这个定理，可知MQ=(1/2)×AB=AP=BP,PM=(1/2)×AC=AQ=CQ,∴可得：（PQ）^2=（PB）^2+（QC）^2

Answer 2

延长QM到D,使DM=QM
∵PM⊥DQ
∴PD=PQ
∵∠BMD=∠CMQ BM=CM
∴△BDM ≌△CQM
∴BD=CQ ∠DBM=∠C
∵∠ABC+∠C=90°
∴∠PBD=90°
RT△DPM中
PD²=PB²+BD²
∴PD²=PB²+CQ²