Question

已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,过C的切线与AB的延长线交于点E,AD⊥EC,垂足为D，AD与⊙O相交于点F，

已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,过C的切线与AB的延长线交于点E,AD⊥EC,垂足为D，AD与⊙O相交于点F，CG⊥AB，垂足为G。求证：BG*GA=DF*DA

Answer 1

证：连接AC，CB

∵⊙O中，AB是直径

∴∠ACB=90°（直径对的圆周角90°）

“∵CG⊥AB于G

∴CG²=GA•GB（射影定理）”

【若没有学过射影定理，“”内部分改为

∵CG⊥AB于G

∴∠AGC=∠CGB=90°

∵Rt△CBG中，

∠GBC+∠BCG=90°

∠ACG+∠BCG=90°

∴∠GBC=∠ACG

在△ACG与△CGB中

∠AGC=∠CGB

∠ACG=∠GBC

∴△ACG∽△CGB

∴AG/CG=CG/BG，

即CG²=GA•GB】

∵ED切⊙O于C

∴∠DCA=∠CBG（弦切角等于其所夹的弧对的圆周角）

【弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

（∠ACE为弦切角，∠ACE夹的弧是弧AC，而∠CBA就是弧AC对的圆周角）

可参考：http://baike.baidu.com/view/476788.htm】

∵∠CBA=∠ACG

∴∠ACD=∠ACG

∵AD⊥ED于D

∴∠ADC=∠AGC=90°

在△ADC与△AGC中

∠ACD=∠ACG

∠ADC=∠AGC

AC=AC

∴△ADC≌△AGC

∴CD=GC

∴AG•BG=CD²=GC²

又∵切线DC切⊙O于C，割线DFA交⊙O于F，A

∴DC²=DF•DA（切割线定理或圆幂定理）

∴BG•GA=DF•DA

可参考：http://baike.baidu.com/view/378963.htm

【图在上传中请稍等】