n≥2 ，n为正整数时，求证4/7≤1/（n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n-1)+1/2n＜√2/2
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我只用柯西证明＜√2/2的部分可以吗？
[1/（n+1） + 1/（n+2）+...+ 1/2n]^2
={[1/（n+1）]*1 + [1/（n+2）]*1+...+ [1/2n]*1}^2
<(1^2+1^2+1^2+......(有n个1)......+1^2)*(1/（n+1）^2 + 1/（n+2）^2+...+ 1/(2n)^2)
<n*[1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+...+1/2n(2n-1)]
=n*[1/n-1/(n+1)+1/(n+1)-1/(n+2)+...+1/(2n-1)-1/2n)]
=n*(1/n-1/2n)
=1/2
∴1/（n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n-1)+1/2n＜√2/2
[1/（n+1） + 1/（n+2）+...+ 1/2n]^2
={[1/（n+1）]*1 + [1/（n+2）]*1+...+ [1/2n]*1}^2
<(1^2+1^2+1^2+......(有n个1)......+1^2)*(1/（n+1）^2 + 1/（n+2）^2+...+ 1/(2n)^2)
<n*[1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+...+1/2n(2n-1)]
=n*[1/n-1/(n+1)+1/(n+1)-1/(n+2)+...+1/(2n-1)-1/2n)]
=n*(1/n-1/2n)
=1/2
∴1/（n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n-1)+1/2n＜√2/2
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