Question

已知,如图,在直角三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,D为BC的中点,E为AC上一点,AG⊥BE于G,延长DG于AC交于F

1 .求证:2BD²=BG *BE
2 .求证:角FGE=45°
3 .若E为AC中点，AB=6，求EF的长

Answer 1

1、可以看到直角三角形ABE中AG垂直与BE，则有AB的平方=BG*BE（也可用三角形ABE与ABG相似得到），而在等腰直角三角形ABC中可以证明AB的平方=2BD²，得证
2、可以证明三角形BDG和三角形BEC相似，有个公共角和两边成比例（BD比BE等于BG比BC，这就等同于第一问的结论），则角FGE=角BCE=45°，得证
3、做FH垂直于BE交BE于点H，设FH长为x，我们可以看到tan(角BEA)=2，角BEA就是角FEH，则在直角三角形FHE中得到HE=x/2，又由2得：角FGE=45度，则在直角三角形FHG中，HG=FH=x，所以H是GE的三等分点，又FH//AG，则由平行线性质，F也是AE的三等分点，所以EF=EA*EH/EG=1解答完毕~~记得给分哦！！！