Question

若f(x)=asin(x+π/4)+3sin(x-π/4)是偶函数,则实数a的值为？

答案过程如下：f(x)=asin(x+π/4)+3sin(x-π/4)=asin(x+π/4)-3cos(x+π/4)
f(x)=√（a^2+9) cos(x+π/4-φ).其中tanφ=-a/3
∵f(x)是偶函数 ∴π/4-φ=Kπ（K∈Z）φ=-Kπ+π/4，tanφ=1 所以a=-3

答案结果对的，希望大家帮我看看过程是不是有点问题？
比如f(x)=√（a^2+9) cos(x+π/4-φ)是不是应该为f(x)=√（a^2+9) sin(x+π/4-φ)？还有tanφ=-a/3事怎么出来的？为什么f(x)是偶函数 则π/4-φ=Kπ？
如果我把它化为f(x)=√（a^2+9)sin(x-π/4+φ）应该怎么做下去？
望数学高手解答~

Answer 1

楼主，过程是对的
sin(a-b)=sinacosb-cosasinb
cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
由以上过程易知，sinφ=a,cosφ=-3,所以tanφ=-a/3
另外也可以有以下做法：
f(x)=asin(x+π/4)+3sin(x-π/4)=acos(x-π/4)+3sin(x-π/4)
=√（a^2+9)sin(x-π/4+φ）,其中tanφ=a/3
∵f(x)是偶函数 ∴φ-π/4=Kπ+π/2 （K∈Z）
∴φ=Kπ+3π/4, ∴tanφ=tan3π/4=-1
∴a=-3

Answer 2

tanφ=-a/3：你将f(x)=√（a^2+9) cos(x+π/4-φ)展开，与原式坐下对比就可以得出。
因为f(x)是偶函数 ，cosX是偶函数，这样转化更方便；sinx是奇函数的，不适用。
π/4-φ=Kπ：只有这样cosx才是偶函数，图形关于y轴对称。
建议你先把三角函数的基础知识搞懂吧。

追问

cos(x+π/4-φ）不本来就是偶函数吗？