Question

建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体无盖蓄水池，

建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为每平方米100元，池底的造价为每平方米300元，把总造价y（元）表示为底面一边长x（米）的函数，并求最小值。

Answer 1

不知道你有没有学过不等式，这里用到高中数学第二册（上）中《不等式》一章的《算术平均数与几何平均数》的知识。
【解题关键】先为你介绍下列重要的不等式：
如果a,b∈R,那么a²＋b²≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号).
证明: a²＋b²－2ab＝(a－b) ²
当a≠b时(a－b) ²＞0，当a＝b时(a－b) ²＝0，所以
(a－b) ²≥0
即a²＋b²≥2ab
由上面的结论，我们又可得到：
定理：如果a，b是正数，那么(a＋b)／2≥√ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）.
证明：∵(√a)² ＋(√b)²≥2√ab,
∴a＋b≥2√ab
即 (a＋b)／2≥√ab
显然，当且仅当a＝b时，(a＋b)／2＝√ab.

这里，我们称(a＋b)／2为a，b的算术平均数，称√ab为a，b的几何平均数。因而，这一定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
（关于这个定理还有一种几何解释，高中课本上同步介绍，我就不多加说明了。当然，如果你没有课本又想知道的话可以站短我。）

理解上述知识，解题就容易了。下面是【解题步骤】：
解：设水池底面一边的长度为x米，则另一边的长度为8／2x米，又设水池的总造价为y元，根据题意，得
y＝300×(8／2)＋100{2×2×x＋2×2×(8／2x)}
＝1200＋400{x＋(4／x)}
≥1200＋400×2√{x×(4／x)}
＝1200＋400×2×2＝2800.
当x＝4／x，即x＝2时，y有最小值2800.
因此，当水池的底面是边长为2米的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是2800元.

（注：“√”为根号，“／”为分数线）
因为我没有专业的编辑器，所以打不出平时书写的样式。故在书写的时候要注意根号、分数、括号的更改。

高中知识逻辑性更强，更能解释“为什么”，但有些对初中生来说很难理解。实际上，我在初中时就碰到过类似问题，当时老师只是解释：底面为正方形，比底面为长方形时面积（总面积）小，因此造价就低，这可以通过假设比较来证明，自己试一下。

有不明白的地方，欢迎追问~

P.S.第二次回答这类问题，大部分照搬，有修改。放假久了，对这些知识都生疏了，要先在纸上把式子写出来，算出来，然后才打得出来……==

Answer 2

y=400x+1600/x+1200 ，最小值2800元。

解：y=(2x+((8/2)/x)*2)*2*100+(8/2)*300
化简后得：y=400x+1600/x+1200

当400x=1600/x，即x=2时，y最小，此时y=2800元。

祝你开心，不明白请追问！