Question

(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5 利用因式定理和待定系数法分解因式。 因式（a+b)(b+c)(c+a)的，剩下的因式怎么设？

(^x指x次方）

Answer 1

(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5
解：令f﹙a﹚＝ (a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5
则 f﹙﹣b﹚＝c^5＋b^5－b^5－c^5＝0
∴a＋b是多项式(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5的一个因式
同理：易得：b＋c 是多项式(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5的一个因式
a＋c是多项式(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5的一个因式
设 (a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5
＝﹙a＋b﹚﹙a＋c﹚﹙b＋c﹚×[﹙a²＋b²＋c²﹚x+﹙ab＋ac＋bc﹚y]
得x＝y＝5
∴ (a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5 ＝5﹙a＋b﹚﹙a＋c﹚﹙b＋c﹚﹙a²＋b²＋c²＋ab＋bc＋ac﹚

追问

﹙a2＋b2＋c2﹚x+﹙ab＋ac＋bc﹚y
这个因式怎么得呢？

追答

这个是按照经验设的
没有为什么