Question

两个函数可导则其复合函数可导吗？求证明过程

具体过程

Answer 1

设f(x),g(x)是两个可导的函数，来证明f(g(x))可导。
这个要按导数的定义来证明，导数的定义是f'(x)=lim[f(x+Δx)-f(x)]/Δx,
[f(g(x))]'=lim[f(g(x+Δx)-f(g(x))]/Δx. 令Δt=g(x+Δx)-g(x)
所以有lim[f(g(x+Δx)-f(g(x))]/Δx=lim{[f(g(x+Δx)-f(g(x))]/Δt}(Δt/Δx) [就是分子分母同时乘以Δt]
limΔt/Δx=lim[g(x+Δx)-g(x)]/Δx=g'(x),lim{[f(g(x+Δx)-f(g(x))]/Δt}=f'(t),其中t=g(x)
上述两个极限存在，所以极限lim[f(g(x+Δx)-f(g(x))]/Δx=lim{[f(g(x+Δx)-f(g(x))]/Δt}(Δt/Δx)存在，也就是f(g(x))可导，且按上述推导过程可知[f(g(x))]'=f'(t)g'(x)=f'(g(x))g'(x)，即复合函数的求导法则。