Question

设x1,x2为方程4x²-4mx+m+2=0的两个实根，当m=多少时，x²+x2²有最小值——

Answer 1

这种问题只有两个知识点，判别式定理与根与系数关系。对于二次方程ax^2+bx+c=0
判别式定理：
判别式△=b^2-4ac。
△>0 时 方程有两个不相等的实数根。
△=0 时 方程有两个相等的实数根。
△<0 时 方程没有实数根。
根与系数关系：
x1+x2=-b/a
x1*x2=c/a。

回到你的题目，首先要保证方程有两个实根，判别式△>=0。
因此△=(-4m)^2-4*4*(m+2)=16m^2-16m-32=16(m^2-m-2)=16(m+1)(m-2)>=0，因此m<=-1或m>=2，才能保证方程有两个实根。
其次求x1^2+x2^2用根与系数关系比较方便（当然你用求根公式硬解也可以的）
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=(-b/a)^2-2c/a=(4m/4)^2-2(m+2)/4=m^2-m/2-1=(m-1/4)^2-5/4（配方）
结合m的取值范围，当m=-1时上式取最小值，x1^2+x2^2=1/2。

在掌握一般知识点以后，这题有两个要点。一个是需要利用方程有两个实根，计算出m的取值范围。其次是得到m的二次方程时，用配方法得到m的最小取值。

Answer 2

方程要有两个实根，则b^2-4ac>=0，即16m^2-16(m+2)=16m^2-16m-32>=0
m^2-m-2>=0
(m-2)(m+1)>=0
m>=2或m<=-1
因X1+X2=-b/a=m,X1*X2=c/a=(2+m)/4.
x1²+x2²=(X1+X2)^2-2*X1*X2=m^2-(2+m)/2=m^2-m/2-1
=(m-1/4)^2-17/16
又因m>=2或m<=-1，结合抛物线可知在m=-1时，有最小值为1/2

Answer 3

x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=m²-(m+2)/2=(m-1/4)²-17/16
m=1/4时，取最小值-17/16