Question

对称轴是x=-1的二次函数y=f(x)在R上的最小值是0，且f(1)=1

(1)求函数f(x)的解析式。(2)若g(x)=(λ+1)f(x-1)-λx-3在x属于［1，1］上是增函数，求实数λ的取值范围。（3）求最大的实数m(m>1)，使得存在实数t，只要x属于［1，m］，就有f(x+t)≤x成立。

Answer 1

第(2)小题中应是x属于［－1，1］啊？！！

解：(1)由题意可得二次函数解析式为：
f(x)=a(x+1)²，其中a>0
又f(1)=1
则a(1+1)²=1
解得a＝1/4
所以函数解析式f(x)=1/4 *(x+1)²

(2)由(1)得：
g(x)=(λ+1)f(x-1)-λx-3
=(λ+1)*(1/4)*x² --λx-3
=[(λ+1)/4]*x² --λx-3
当λ＝－1时，则g(x)=x-3,易知函数g(x)在x属于［1，1］上是增函数
当λ≠－1时，考察二次方程[(λ+1)/4]*x² --λx-3＝0，
Δ＝(-λ)²-4*[(λ+1)/4]*(-3)=λ²+3λ+3=λ²+3λ+(3/2)²-(3/2)²+3=(λ+3/2)²+3/4
可知，对于任意实数λ，恒有Δ>0，即二次方程[(λ+1)/4]*x² --λx-3＝0恒有两个不同的实数根
则当λ≥0,即(λ+1)/4>0,二次函数g(x)图像开口向上，且与x轴有两个不同的交点，有：
g(0)=-3<0,对称轴x＝－(-λ)/[2(λ+1)/4]=2λ/(λ+1)>0，易知二次函数g(x)此时在[-1,0]上
必是减函数，不符合题意，即λ≥0不成立
当0>λ>-1,即(λ+1)/4>0时,二次函数g(x)图像开口向上，且与x轴有两个不同的交点，有：
g(0)=-3<0,对称轴x＝2λ/(λ+1)<0
此时，要使g(x)在x属于［-1，1］上是增函数，须使2λ/(λ+1)≤－1，
解得λ≤－1/3，所以－1<λ≤－1/3
当λ<-1,即(λ+1)/4<0,二次函数g(x)图像开口向下，且与x轴有两个不同的交点，有：
g(0)=-3<0,对称轴x＝2λ/(λ+1)>0，
此时，要使g(x)在x属于［-1，1］上是增函数，须使2λ/(λ+1)≥1，
解得λ≤1,所以λ<-1
综上所述若g(x)在x属于［-1，1］上是增函数，实数λ的取值范围是λ≤－1/3

(3)由(1)知：f(x)=1/4 *(x+1)²
则不等式f(x+t)≤x可化为：1/4 *(x+t+1)²≤x
即x²+(2t-2)x+(t+1)²≤0
考察二次函数h(x)=x²+(2t-2)x+(t+1)²,其图像开口向上，对称轴x=1-t，h(0)=(t+1)²≥0,
且Δ=(2t-2)²-4(t+1)²=-16t
则要使x²+(2t-2)x+(t+1)²≤0成立，须使Δ≥0即t≤0,则对称轴x＝1-t中，有1-t≥1
又解方程x²+(2t-2)x+(t+1)²＝0两根为x1＝1－t－2√(-t)=[1-√(-t)]²≥0,x2=1－t+2√(-t)=[1+√(-t)]²≥0
且h(0)=(t+1)²≥0,易知在x属于[ [1-√(-t)]²,[1+√(-t)]² ]上函数h(x)≤0
所以若能使得存在实数t，只要x属于［1，m］，就有f(x+t)≤x即x²+(2t-2)x+(t+1)²≤0成立
且实数m取得最大值，须使m=[1+√(-t)]²有最大值
因为[1-√(-t)]²≥0，t≤0，所以当t＝－1时，[1-√(-t)]²有最小值0，
此时m=[1+√(-t)]²有最大值2