Question

求值cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°cos40°

我需要的是过程，老师说这类题是用积化和差公式，可是我还是弄不懂……

Answer 1

搞不懂就不用和差化积，用sin倍角公式，稍等

追问

哦，好！ 不过老师只是点一下，没有详细的写出用和差化积，所以可不可以也写给我看看用这种方法求，3q！

追答

积化和差就是如下
你知道和差角的公式（不知道就可以右上角了）
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ（尽量写的正式一点）
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
一相乘，cos（a+b）cos（a-b）=（cosacosb）^2-(sinasinb)^2 (右式用一次平方差)
和差化积就是这式子一相加，
cos（a+b）+cos（a-b）=2cosacosb
对于这题，
cos80cos160=(cos120cos40)^2-(sin120sin40)^2=1/4cos40^2-3/4sin40^2
cos40°cos80+cos160°cos40°=cos40(cos80+160)=cos40(2cos120cos40)=-cos40^2
两式一加
原式=1/4cos40^2-3/4sin40^2-cos40^2

=-3/4cos40^2-3/4sin40^2
=-3/4(cos40^2+sin40^2)
=-3/4

三角符号很难打的说，要有耐心

Answer 2

cos40 + cos60 + cos80 + cos160
= cos(60-20)+ cos60 + cos(60+20)+cos(180-20)
= cos60cos20 + sin60sin20 + cos60 + cos60cos20 -sin60sin20 + cos180cos20 + sin180sin20
= 1/2 cos20 + 1/2 + 1/2 cos20 -cos20 +0