Question

高中数学三角函数问题

1.y=3cos（2x+π/6）（x属于[0，π]）的减区间是（ ）（圆周率打不出来，只好用π）
2.已知f（x）=sin（wx+π/4）（w>0）向左平移π/ 6个单位后与函数g（x）=sin（wx+π/6）的图像重合，则正数w的最小值为（ ）
3.已知函数f（x）=sin（wx+π/3）（w>0）若f（π/6）=f（π/2），且f（x）在区间
（π/6,π/2）内有最大值，无最小值，则w=（ ）
需要详细过程，回答好的加倍酬谢！
提示：（有答案但是不知道为什么）
1.[0,5π/12]
2.23/2
3.1/2

Answer 1

1. 答案是.[0,5π/12]
解析：因为cosx的单调递减区间是[2kπ,π+2kπ],所以令2kπ<2x+π/6<π+2kπ
解得：kπ-π/12<x<kπ+5π/12
只有当k=1时满足条件，解得范围为[-π/12,5π/12],而又因为x属于[0，π]
所以[0,5π/12]
2..答案是 23/2
解析：移动后的方程是：f（x）=sin[w（x+π/6)+π/4+2kπ]
则π/6*w=-π/12+2kπ,所以当k=1时，w最小为23/2
3.答案是1/2
由f（x）在区间（π/6,π/2）内有最大值，无最小值知道，这两个点一定是相邻的，满足x+y=π
(你画个正选函数图像就能看出来)，当x=π/6时，wx+π/3= π/6w+π/3 ,当x=π/2时，
wx+π/3=π/2w+π/3,两式加起来等于π得，w=1/2

Answer 2

1.Y＝3cos（2x-∏/3）
＝3cos[2(x-∏/6)]

它是由Y=cosx变换而来：
1.水平向左移∏/6：
2.水平压缩1/2：
3.竖向拉伸3倍。

其中前面的系数为竖向拉伸，不影响定义域的变化；共有水平移动和压缩直接影响定义域的变化。

其中cosx是在[2k∏,2k∏+∏]上是递减,即2k∏≤x≤2k∏+∏;
直接把要求的函数cos后面的函数式当作上面不等式的x代入，再解就可以了，即：
2k∏≤2x-∏/3≤2k∏+∏
2k∏+∏/3≤2x≤2k∏+4∏/3
k∏+∏/6≤x≤k∏+2∏/3

即递减区间为：[k∏+∏/6，k∏+2∏/3]（k∈Z）

2.f(π/6)=f(π/3),说明函数图像关于直线x=(π/6+π/3)/2(即x=π/4)对称。
f(x)在区间(π/6,π/3)内有最大值，无最小值，所以x=π/4时取到最大值。
且知函数周期大于π/3-π/6=π/6.
x=π/4时取到最大值,则wπ/4+π/3=2kπ+π/2,w=8k+2/3.k∈Z.
又周期为2π/w>π/6,0<w<12.
故k=0时，w=2/3或k=1时，w=26/3适合题意。

3.sin(wπ/6+π/3 )=1
所以 wπ/6+π/3=kπ+π/2 (k∈Z)
可得 w=6k+1 (k∈Z)
所以 w的最小正值为k=0时的值
所以 w=1
所以 f(x)=sin(x+π/3 ) (x∈R)
（2）将图像向右移π/3，即可得到y= sin x的图象
（3）f(a)=sin(a+π/3 )
=sinacos(π/3)+cosasin(π/3)
=1/2sina+(3^1/2)/2cosa
=1/2sina+(3^1/2)/2[1-sin(^2)a]^1/2=3/5
可解得：sin(^2)a=39/50
所以 cos(^2)a=11/50
所以 tana=[sin(^2)a/cos(^2)a]^1/2=(39/11)^1/2
又因为 cos2x=1-2cos(^2)x
所以 cos2(a-b)-1=-2cos(^2)(a-b)
又因为 cos(^2)a=11/50
所以 cos2(a-b)-1=-2x11/50=-11/25

追问

非常感谢您辛苦的努力，可是答案好像不太对，我算的结果和答案和你的都不一样
第一题我的答案是 [0,5π/12]并上[11π/12,π]

追答

π/6 ≤ 2x+π/6 ≤ 13/6π 然后画图像 图像中的减区间是π/6到π，和2π到13/6π 。然后就把x算出来了

Answer 3

1.要是减去间，可以令u＝2x+π/6，则y＝cos u在[0,π/2]上单减，那么u属于[0,π/2]，因此要求u＝2x+π/6的值域为[0,π/2]，令0《＝ 2x+π/6《＝ π/2，得到答案。